Prova Cinza - Enem 2017

137) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:

Quantidade de Jogadores	2	3	4	5	6	7
Número de Partidas	1	3	6	10	15	21

Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas:

a) 64

b) 56

c) 49

d) 36

e) 28

Considerando 8 jogadores, o primeiro jogador poderá jogar com 7 (ele não pode jogar sozinho) outros jogadores. 

O próximo jogador poderá jogar com 7 mas deve ser descontado a partida com o primeiro, que já foi contada, então ele jogará com 6.

O terceiro jogará com 7 mas devem ser descontadas as partidas já consideradas com os 2 primeiros, assim, ele jogará com mais 5...

Sendo assim, as partidas serão: 7+6+5+4+3+2+1 = 28 partidas.
Este problema é a combinação de 8 jogadores jogando 2 a 2: C_8,2 = 8! / 2!(8-2)! = 8∙7∙6! / 2! 6! = 8∙7 / 2∙1 = 28 partidas.

A resposta correta da questão é a letra E.

Prova Cinza - Enem 2017

136) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem 5 opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que L e D representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Opção	Formato
I	LDDDDD
II	DDDDDD
III	LLDDDD
IV	DDDDD
V	LLLDD

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro de número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa as condições da empresa é:

a)i

b)II

c)III

d)IV

e)V

Como dito no enunciado, tanto as letras quanto os dígitos podem se repetir. Então, teremos para cada opção, as seguintes possibilidades:

Opção I: 26·10·10·10·10·10 = 26·10⁵

Opção II: 10·10·10·10·10·10·10 = 10⁷

Opção III: 26·26·10·10·10·10 = 26²·10⁴

Opção IV: 10·10·10·10·10 = 10⁵

Opção V: 26·26·26·10·10 = 26³·10²

A opção I pode ser descarta pois a empresa qure mais de um milhao (10⁶) de possibilidades, mas não poderá passar de 2·10⁶ e 2,6·10⁶ > 2·10⁶.

A opção II também pode ser descartada pois nela as possibilidades ultrapassando o limite do dobro de clientes esperados (2·10⁶), 10⁷ > 2·10⁶.

A opção III fica acima do esperado pois 26²·10⁴ = 2,6²·10⁶ > 2·10⁶.

A opção IV fica abaixo do esperado, 10⁵ < 10⁶.

A opção V fica acima de 10⁶ e abaixo de 2·10⁶: 26³·10² = 2,6³·10⁵ ≈1,75·10⁶.

A reposta da questão é a letra E.

Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 6Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:

c(t) = 400 – k log₃(at + 1),

em que t é dado em horas e c(t) é dado em mg/L. As constantes a e k são positivas.

a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0?

                Em t=0 teremos C(0) = 400 – k∙log₃(a0 +1)

                                  C(0) = 400 – k∙log₃1        (log₃ 1=x equivale a 3^x = 1 → x=0)

                                  C(0) = 400 = k∙0

                                  C(0) = 400

b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula.

                Temos que em C(2) = ½ C(0) = 400/2 = 200

                C(2) = 400 – k log₃(a2 +1) = 200 → k log₃(a2+1) = 200

                E em C(8) = 0 ou seja, k∙log₃(a8 +1) = 400

                k log₃(2a + 1) = 200

    k log₃(8a + 1) = 400

Fazendo a razão entre as duas equações:

400[k log₃(2a + 1)] = 200[k log₃(8a + 1)]

2 log₃(2a + 1) = log₃(8a + 1)

log₃(2a + 1)² = log₃(8a + 1)

Então

(2a + 1)² = 8a + 1

4a² + 4a + 1 – 8a -1 = 0

4a² -4a = 0

a² – a = 0                            

a(a -1) = 0 →  a=1 ou a = 0 (a = 0 não vale pois o enunciado diz que a e k são constantes positivas)

e para a =1

k log₃(2∙1 + 1) = 200

k log₃(3) = 200

k ∙1 = 200

k = 200

Resolção Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 5

5) Considere a função f_a : [0,1] → [0,1] que depende de um parâmetro a є ]1,2], dada por

Sabe-se que existe um único ponto p_a є ]1/2, 1[ tal que f_a (p_a) = p_a. Na figura a seguir estão esboçados os gráfico de f_a e a reta  de equação y = x.

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

                O ponto p_a pertence a reta y = x (equivalente a f(x) = x), pois f_a(p_a) = p_a e p_a também pertence a reta f_a(x) = a(1 - x)

Assim, a(1-p_a) = p_a

             a – ap_a = p_a          

            p_a + ap_a = a

            p_a(1 +a) = a

            p_a = a / (1+a)

b) Mostre que f_a (f_a (1/2)) < 1/2 para todo a ∈ ]1, 2].

                f_a (1/2) = a/2 e f_a (f_a (1/2)) = f_a (a/2)

                se 1 < a ≤ 2 então 1/2 < a/2 ≤ 1

                Se a/2 ∈ ]1/2,1] então função a ser usada é f_a(x) = a(1-x)

                f_a(a/2) = a(1-a/2)

                f_a(2/2) = 2(1-2/2)=0 e

                f_a(1) = 1(1-1/2) = 1/2

Então para qualquer valor de a ]1,2] temos f_a(f_a(1/2)) < 1/2.

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a ∈ ]1, 2] tal que f_a (f_a (f_a(1/2))) = p_a, em que p_a, é o ponto encontrado no item a).

                f_a (f_a (1/2)) < 1/2 então usaremos a relação f_a(x) = ax, assim

                f_a (f_a (f_a (1/2)))  = f_a(f_a(a/2)) = a(a(1-a/2)

                Temos que encontrar um ‘a’ ∈ ]1,2]f_a tal que (f_a (f_a (1/2))) = p_a

Então: a(a(1-a/2)) = p_a

p_a =  a/(1+a)

a(a(1-a/2)) = a/(1+a)

2a – a² = 2/(1+a)

                -a³ + a² + 2a – 2 = 0

                a³ - a² - 2a + 2 = 0

                a²(a-1) - 2(a-1) = 0

                (a² - 2)(a – 1) = 0    a = ±√2 ou a = 1. Como a deve pertencer a ]1,2] o ‘a’ procurado é √2.

Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 4

Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e CD, respectivamente.

a) Determine a área do triângulo EFH.

                Aresta mede 6cm, então AB = BC = CA = 6.

                E, F, G, H e I são pontos médios dos lados, então a distância entre eles é a mesma pois os lados do prisma são iguais.

                - Analisando o triângulo ABC da base do prisma:

                AB² = h² + (BC/2)²

                6² = h² + 3²

                h² = 36 – 9

                h² = 27

              h = 3√3 e h/2 é a altura do triângulo EFG que também é a altura de todos os outros triângulos equiláteros com vértices nos pontos médios das arestas do prisma. (Por semelhança de triângulos achamos os lados GE, FG e FE, pois os 4 triângulos internos, que formam ABC são congruentes entre si e semelhantes a ABC).

                Assim, a área de EFG = base∙altura/2 = (3.(3√3)/2)/2 = 9√3/4

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.

                Como vimos, todas as distância entre os pontos médios são iguais, portanto

EH = HI = IG = GE = 3 e sua área 3² = 9

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.

                A pirâmide tem arestas igual a 3cm e seu volume é dado por: 1/3(S_B.h).

                Como vimos a área da base EGIH é 9 e altura da pirâmide pode ser achada fazendo um corte central na pirâmide, desenhando um triângulo retângulo em que um dos lados é a altura da pirâmide, o outro lado é uma aresta da pirâmide e a base é a metade da diagonal da base.

A diagonal da base é d² = 3² + 3² → d² =18 → d = √18 → d = 3√2

 Agora, podemos aplicar Pitágoras e achar a altura da pirâmide:

HF² = (h_pir)² + (3√2/2)²

3² – 9∙2/4 = (h_pir)²

9 – 9/2 = (h_pir)²

(h_pir)² =9/2

 h_pir = 3√2/2

Tendo todas as medidas, podemos achar o volume da pirâmide:

V = 1/3(S_B∙ h_pir)

V = 1/3(9 ∙ 3√2/2)

V = 9√2/2 cm³.

Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 3

3) Um quadriculado é formado por n × n quadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 3. Cada um desses quadrados será pintado de azul ou de branco. Dizemos que dois quadrados Q₁ e Q₂ do quadriculado estão conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possível, por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair de Q₁ e chegar a Q₂ passando apenas por quadrados pintados de azul.

a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

                Como para Q₁ e Q₂ serem conectados eles devem estar pintados de azul e passar por um quadriculado pintado de azul até chegar ao outro, então deve haver pelo menos um quadriculado pintado de azul. Assim, temos essas possibilidades:

  - Os dois quadriculados pintados de azul;

  - O quadriculado do canto superior esquerdo pintado de azul e o do canto inferior direito pintado de branco;

  - O quadriculado do canto superior esquerdo pintado de branco e o do canto inferior direito pintado de azul.

São 3 maneira de pintar o quadriculado e manter  Q₁ e Q₂ conectados

b) Suponha que n = 3 e que o quadrado central esteja pintado de branco. De quantas maneiras distintas será possível pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

                Se o quadriculado superior central (entre Q₁ e Q₂) estiver pintado de azul, os outros 5 quadriculados podem estar pintado de qualquer uma das duas cores, sendo assim teremos 2⁵ possibilidade = 32;

                Caso contrário, os outros 5 quadriculados só podem estar pintados todos de azul para que Q₁ e Q₂ estejam conectados.

                Desta forma, teremos 32 + 1 = 33 possibilidades de pintar os quadriculados sendo o do meio branco.

c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

              1)  Já vimos as formas caso o quadriculado central fosse branco (33 possibilidades)

              2)  Se o quadriculado central é azul e o superior a ele é branco, teremos estas possibilidades:

                - os laterais a ele devem ser pintados de azul e os outros 3 podem ser pintados de branco ou azul: 2³ = 8.

             3) Se o central for azul e o quadriculado superior a ele também for azul, então tanto faz a cor dos outros 5 quadriculado e também teremos 2⁵ possibilidades = 32;

Assim, teremos: 33 + 8 + 32 = 73 possibilidades de pintarmos os quadriculados mantendo Q₁ e Q₂ conectados. 

Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 2

O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano cartesiano Oxy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem O e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo OCP, em radianos, é denotada por θ. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ que tangencia o disco no ponto P.

a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo ao eixo y.

                Inicialmente, o fio está esticado junto ao eixo x e tem comprimento 3 já que uma das extremidades está na origem O e a oura está em (0,3).

                Para o segmento PQ estar paralelo a y, ele deve estar tangenciando a circunferência quando 

θ  = 90° = π/2 e quando isto ocorre o fio percorreu 1/4 do comprimento da circunferência.

                O comprimento da circunferência é dado por: C = 2πr = 2π1 = 2π

e, 1/4 de C = 1/4(2π)

                O comprimento de PQ = 3 – π/2.

                Assim, se PQ é paralelo a y e tangencia a circunferência de raio 1 em P(1,1), a abcissa do ponto Q é 1 e a ordenada é (3-2π) + 1 = 4 - π/2, então Q(1, 4-π/2).

b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo à reta de equação y = x.

                Se PQ é paralela a y=x , então θ =45°= π/4 e o comprimento do arco é 1/8 do comprimento da circunferência, assim OP = 1/8(2 π) = 1/4(π).

               Podemos descobrir a coordenada de P usando a lei dos senos, pois, traçando uma paralela a x por P e cortando y em um ponto A, teremos um triangulo retângulo APC, onde 

1/sen90° = AP/sen45° = AC/sen45°, então AP = AC = √2/2 e AO = 1-√2/2. Logo, a coordenada de P é (√2/2, 1-√2/2).

                PQ neste caso será 3-1/4(π)

             Prolongando a reta paralela a x passando por P traçando outra reta por Q paralelo a y formando um ângulo reto em B, podemos tanto usar a lei dos senos novamente quanto usar as relações trigonométricas para o triângulo retângulo para achar as coordenadas de Q:

                (3-1/4(π)) / sen90° = PB/sen45° = QB/sen45°, PB = QB = √2/2[(12-π)/4]

                Somando os comprimentos a coordenada de P, achamos a coordenada de Q:

                x_q= x_p+ PB = √2/2 + √2/2[(12-π)/4] = √2/2[(16-π)/4]

                y_q= y_p+ BQ = (1-√2/2) +  √2/2[(12-π)/4] = 1+√2/2(-1 + 3 - π/4) = 1 + √2(1 - π/8)

                Assim, a coordenada de Q é (√2/2[(4- π/4] , 1 + √2(1 - π/8))

               

c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de θ, para θ no intervalo [0, π/2].

                Das coordenadas de P que sempre pertencem a circunferência, em função de θ teremos que x_p: senθ e y_p: 1-cosθ, pois o centro da circunferência está deslocado em 1 unidade no eixo y.

                O comprimento do fio é 3 e a distância PQ depende do arco θ, portanto 3 = arco θ + PQ

                PQ = 3 - θ.

                As coordenadas do ponto Q(x_q, y_q) podem ser deduzidas pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo onde:

senθ=cateto oposto(BQ) / hipotenusa(PQ) → cateto oposto(BQ)  = senθ∙PQ

cosθ =cateto ajacente(PB) / hipotenusa(PQ) → cateto adjacente(PB) = cosθ∙PQ

                Pela semelhança de triângulos (triângulo PCA: triângulo retângulo; triângulo BPQ: triângulo retângulo, ambos com base no mesmo segmento AB) , notamos que o ângulo θ dado na circunferência corresponde ao ângulo APQ, assim podemos escrever a coordenada (x_q, y_q) como:

                x_q = x_p + cosθ∙PQ  → x_q = senθ + cosθ∙(3- θ)

                y_q = y_p + senθ∙PQ  → y_q = (1-cosθ) + senθ∙(3- θ)