Número Reais ℝ

 -O conjunto dos números reais é a união dos Racionais e dos Irracionais, sendo que este último é formado pelas lacunas encontradas no Conjuntos dos Racionais, pois se encontrava grande dificuldade de entender e classificar uma quantidade infinita de raízes de números racionais cujo resultado não pertencia ao mesmo conjunto, ou seja, não podiam ser representados como uma razão de 2 números inteiros.

- Propriedades da Adição nos Reais (a, b, c , m, n є ℝ)

         Associativa (a + b) + c = a + (b + c)

         Comutativa a + b = b + a

         Elemento Neutro pra Soma a + 0 = a

         Elemento Oposto para Soma a +(-a) = 0

- Propriedades da Multiplicação nos Reais ((a, b, c є ℝ)

         Associativa (ab)c = a(bc)

         Comutativa ab =ba

         Elemento Neutro do Produto a ∙ 1 = a

         Elemento Inverso a ∙ b = 1 ⇒ b = 1/a

         Distributiva do Produto a(b + c) = ab + ac

Relação de Ordem

         Propriedades da relação de ordem: (⩝ a, b, c є ℝ)

                         Reflexiva a ≤ b

                         Antissimétrica a ≤ b e b ≤ a ⇒ a =b

                         Transitiva a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

                         A relação ≤ é total a ≤ b ou b ≤ a

                         Compatibilidade com a adição se a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c

                         Compatibilidade com o produto a ≤ b e 0 ≤ c ⇒ a∙b ≤ b∙c

               Se A ≠ ∅ e A ⊂ ℝ, limitado superiormente, então ∃ s є ℝ/ s=sup(A)

                         Se a_i ≤ b_i(i=1,2,3,...,n) e a_r < b_r para algum r(1 ≤ r ≤ n), então ∑ a_i < ∑ b_i

                         Regra de Sinais: a > 0 e b >0 ⇒ ab > 0

                                           a < 0 e b < 0 ⇒ ab > 0                   

                                                     a < 0 e b > 0 ⇒ ab < 0

                         a² ≥ 0 ⩝ a є ℝ

                                        a < b e c > 0 ⇒ ac < bc

                         a < b e c < 0 ⇒ac > bc

                         ac ≤ bc e c > 0 ⇒a ≤ b

                         (a > 0 ⇒ a^-1 > 0) e (a < 0 ⇒ a^-1 <0)

                         (0 < a <1 ⇒ 1 < a^-1) e (1 < a ⇒ 0 < a^-1 < 1)

                         0 < a < b ⇒ 0 < b^-1 < a^-1

                         a < b < 0 ⇒ b-¹ < a^-1 <0

                         ⩝ a є ℝ, a≥0, ∃ b є ℝ, b≥0/b²= a, ou seja, existe a raiz quadrada de a:b=√a

                         Entre dois números reais existe um número racional. Ou seja, o conjunto                                   dos números racionais é denso em ℝ.

                         Se a, b são reais e a >0, então existe um natural n ≠ 0 tal que na>b.

Representação na Reta Real

         - A relação de ordem nos reais pode ser representada na reta real por intervalos e sendo a, b є ℝ, com a < b, extremos de um intervalo, podemos utilizar a seguintes notações para os subconjuntos determinados por este intervalo:

         -Intervalo fechado [a,b] = {x є ℝ / a ≤ x ≤ b}

         -Intervalo aberto (a,b) = { x є ℝ / a < x < b}

         -Intervalo semiaberto à direita [a, b) = { x є ℝ / a ≤ x < b}

         -Intervalo semiaberto à esquerda (a, b] = { x є ℝ / a < x ≤ b}

Valor Absoluto (Módulo) nos reais tem o mesmo conceito dado para os inteiros e os racionais.

Na reta real, o valor absoluto é a distância entre um ponto na reta até sua origem.

 O valor absoluto ou módulo é definido da seguinte forma

         |a| = a sempre que a≥0

         |a| = -a se a<0

Propriedades:

         |a| = |-a|

         -|a| ≤ a ≤ |a|

         |ab| = |a|∙|b|

         |a+b|≤|a| +|b|

         |a| - |b| ≤ |a – b| ≤ |a + b|

         Se b ≠ 0, então |b^-1| = |b|^-1 e |ab^-1| = |a| ∙ |b|^-1

         Se x, a, ε є ℝ, e que ε > 0, então: |x – a| < ε se, e somente se, a – ε < x < a + ε.

Potência

É uma notação para produto de uma mesma base n vezes.

Assim, se temos o produto(com n termos de a) a∙a∙...∙a∙a = aⁿ

Propriedade da potência:

         a^maⁿ = a^m+n

         a^m /aⁿ = a^m-n

         (a^m)ⁿ = a^mn

         (ab)^m = a^mb^m

         (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

         (a)^m/n =  ⁿ√a^m

Simplificação de Expressões Numéricas e Algébricas

         Expressões Numéricas

          - As expressões numéricas são aquelas que só apresentam números e na simplificação de termos, temos que encontrar todos os que são iguais que estão somando e subtraindo ou multiplicando e dividindo ou ainda as potências que tem a mesma base.

         Lembrando que numa expressão devemos primeiro resolver o produto e a divisão e depois a soma e a diferença.

Resolvendo uma expressão numérica (3/2)∙6 + 4 -5² -7/4 -4 +15² -5/4

Podemos primeiramente tentar identificar o que é igual

+4 e -4 podemos cancelar pois esta operação resultará 0

-7/4 e -5/4 podemos somar pois tem o mesmo denominador -12/4 e como 12 = 4∙3 podemos simplificar (4/4 = 1) a divisão resultando apenas em -3

-5² e +15² A potência 15² pode ser escrita como 3²∙5² = 9∙5². Somando 9∙5² com -5² teremos como resultado 8∙5².

(3/2)∙6 Como 6 = 2∙3 podemos simplificar esta divisão, sobrando apenas 3∙3 = 9.

Desta forma,

(3/2)∙6 + 4 -5² -7/4 -4 +15² -5/4 = (3/2)∙3∙2 +4 -4 -5² + 9∙5² -7/4 – 5/4 =

3∙3 +8∙5² –(3∙4)/4 = 9 + 8∙5² -3 = 6 + 8∙25 = 6 + 200 =206

         Expressões Algébricas

          - São expressões que apresentam incógnitas e números e para resolve-las podemos agrupar seus termos comuns e simplifica-los da mesma forma que uma expressão numérica.

Resolvendo uma expressão algébrica: 2(x – 5) + 5x = 2 + 3(4 – 3x)

O primeiro passo aqui é resolver os produtos

         2(x – 5) = 2x – 10  e 3(4 – 3x) = 12 – 9x

Assim, teremos: 2x – 10 + 5x = 2 + 12 – 9x

Agora podemos somar de cada lado da igualdade os termos comuns:

         7x – 10 = 14 – 9x

Aqui, se somarmos dos dois lado da equação o valor 9x e 10, teremos:

         7x – 10 + (9x +10) = 14 – 9x + (9x + 10)

Notem que a igualdade continua a mesma, pois o que foi somado de um lado também foi do outro lado da igualdade. O objetivo disto é deixar a incógnita isolada para podermos igualar a um valor numérico.

Assim, poderemos simplificar o termo (-10 + 10)  e (-9x + 9x) cada um de um lado da expressão

         7x + 9x = 14 + 10

         16x = 24 (dividindo os dois lados por 16)

         x = 24/16

         x = (3.8)/(2.8) = 3/2

Desigualdade

As desigualdades estabelecem uma relação de ordem entre alguns valores. No caso da inequações, descobrimos para quais valores essa relação de ordem existe, analisamos um intervalo que torna a inequação verdadeira.

As propriedades da relação de ordem dos Reais valem para as inequações e o que analisaremos aqui é para quais valores da incógnita a expressão assumirá valores positivos, negativos ou nulos.

Por exemplo: -x² +50x – 600 ≥ 0

Note que 50x = 30x + 20X e 600 = 30∙20

Assim podemos achar a forma fatorada da expressão:

                   (-x +20)(x – 30) ≥ 0

Das propriedades de relação de ordem temos que um produto é maior que zero se os dois são positivos ou os dois são negativo e é igual a zero se um deles ou os dois forem zero. Desta forma, vamos analisar qual o valor de x para que os dois termos seja positivos ou negativos ou zero e compará-los.

-x + 20 ≥ 0

-x ≥ -20

x ≤ 20

Para qualquer x < 20 a equação é positiva se x = 20 a equação é nula e para qualquer valor x > 20 a equação é negativa.

x – 30 ≥ 0

x ≥ 30

Para qualquer x > 30 a equação é positiva se x = 30 a equação é nula e para qualquer valor x < 30 a equação é negativa.

Logo, as duas equações serão negativas entre 20 e 30, zerando exatamente nestes valores. Portanto a solução da inequação é um conjunto S={xєℝ / 20 ≤ x ≤ 30} Quer dizer que, para estes valores de x a inequação é maior ou igual a zero como queríamos.