Resolução Comentada Fase 1 Fuvest 2017

Questão 83

Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é:

a) 1/4

b) 7/24

c) 1/3

d)3/8

e) 5/12

                Cada participante pode tirar seu nome ou o nome de um dos outro três amigos. Logo cada um deles tem 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 possibilidades de retiradas diferentes.

                Dessas retiradas queremos saber as possibilidades de ninguém retirar seu próprio nome:

Colocando em ordem Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana, podemos fazer estas combinações em que ninguém tira seu próprio nome:

(P,C,A,R), (P,A,C,R), (P,R,A,C)

(R,A,C,P), (R,C,A,P), (R,R,A,P)  

(A ,C,P,R), (A,R,C,P), (A,R,P,C)

                Sendo assim, temos 9 possibilidades em 24 = 9/24 = 3/8. Resposta D

OBS: Poderíamos ter solucionado a questão usando permutações caóticas (são as combinações em que colocando uma ordem nos itens, nenhum deles se encontra na ordem correta, ou seja, é um Desarranjo) com a fórmula:

(PC)_n =D_n = 4!(1 – 1/1! + 1/2! - 1/3! +.... + (-1)ⁿ ∙(1/n!))

Neste caso 

D₄ = 4!(1 – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4!) = 24(1 – 1 + 1/2 – 1/6 + 1/24) = 9/24 = 3/8.