Resolução comentada Fase 1 Fuvest 2017

Questão 84

O retângulo ABCD , representado na figura, tem lados de comprimento AB =3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP =1. Os pontos R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.

Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo CQP e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0,3[, é:

a) 61/8

b) 33/4

c) 17/2

d) 35/4

e) 73/8

A questão pede para imaginarmos o segmento RS deslizando por AB paralelamente a AD (e o ponto Q deslizando pelo segmento DP) e encontrarmos, nesse ‘caminho’, a maior área para os triângulos CQP e DQS e para o retângulo ARQT.

Olhando para o triângulo CPD isósceles (BC =4 e BP = 1, então CP = 3 e CD = 3), ele é semelhante ao triângulo DQS, logo o triângulo DQS também é isósceles com catetos x e hipotenusa DQ.

O triângulo CQP terá base 3 para qualquer posição do segmento RS.

O triângulo DQS é retângulo e tanto sua base quanto sua altura se alteram conforme RS ‘caminha’.

O retângulo ARQT também tem sua base e alturas alterados.

Se DT = x = DS, então

AT = 4-x (altura do retângulo ARQT)

RB = 3-x (altura do triângulo CQP)

A soma das áreas pode ser dada por:

S_ARQT + S_DQS + S_CQP

x ∙(4-x) + (x ∙ x /2) + (3 ∙ (3-x)/2)=

4x – x² + x²/2 + (9-3x)/2 =

(8x - 2x² +x² + 9 – 3x)/2 =

(-x² + 5x + 9) /2

Lembrando gráfico de função quadrática: ax² + bx + c.

Se a>0 a função tem concavidade voltada para cima e ela possui um ponto de mínimo.

Se a<0 a função tem concavidade voltada para baixo e ela possui um ponto de máximo.

A equação tem valor máximo em seu vértice, onde x_v = -b/2a e y_v = - Δ/4a.

Nesta questão o que interessa é somente a ordenda y do vértice:

y_v = - Δ/4a

y_v = -(b² -4ac)/4(-1/2)

y_v = -((5/2)² – 4(-1/2)(9/2))/-2

y_v = (25/4 + 36/4)/2

y_v = 61/8 , esta é a área máxima conseguida pela variação de x no intervalo aberto ]0,3[

Resposta da questão: A