Resolução Comentada Fase 1 Fuvest 2017

Questão 85

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio de BC e N de CD. Os segmento AC e AM interceptam o segmento BN nos ponto E e F, respectivamente. 

A área do triângulo AEF é igual a:

a) 24/25

b) 29/30

c) 61/60

d) 16/15

e) 23/20

                A área que estamos procurando pode ser obtida pela diferença dos triângulos ABE e ABF. Dos 2 triângulos, precisamos das suas alturas.

                Primero podemos tomar o segmento BN como diagonal de um quadrado de lado 2  (NC = 2 e BC = 2). Assim, temos que o ângulo NBC = 45° (toda diagonal do um quadrado também é a bissetriz do vértice)

                Os triângulos ABE e NCE são semelhantes (possuem NC//AB e o ângulo E em comum) e por isso podemos comparar suas bases e alturas.

Tomando a altura do triângulo AEB como H, a altura do triângulo NCE será 2 – H, desta forma: 

4/2 = H /(2 – H)

8 – 4H = 2H

8 = 6H

H = 4/3

                Agora precisamos da altura do triângulo AFB.

                Traçando uma paralela a AB por M, cortando BN em G, teremos dois triângulos semelhantes AFB e MFG onde MG = 1 (opostos pelo vértice F, GM//AB,G~B/2 = 45°)

                 As alturas dos dois triângulos somam 1, sendo assim a altura menor é igual a 1 menos a altura maior e

1/4= (1 – h) /h

h = 4 -4h

5h = 4

h = 4/5

                Agora podemos calcular as áreas e subtraí-las:

S_AEB = (4∙4/3)/2 = 16/6 = 8 /3

S_AFB = (4∙4/5)/2 = 16/10 = 8 /5

S_AEB – S_AFB = 8/3 – 8/5 =  (40 -24) /15 16/15

                A resposta correta da questão é a letra D.