Resolução Comentada Fase 1 Fuvest 2017 Questão 87

Questão 87

O polinômio P(x) = x³ – 3x² +7x -5 possui uma raiz complexa ξ cuja parte imaginária é positiva. A parte real de ξ³ é:

a) -11

b) -7

c) 9

d) 10

e) 12

                Do estudo de polinômios, sabemos que um trinômio possui 3 raízes, se ele possui uma imaginária   z = a + bi, então seu conjugado z = a - bi também é. A terceira raiz só pode ser real, pois se fosse imaginária, o seu conjugado também seria e teríamos 4 raízes, o que é impossível.

                Neste polinômio é fácil ver que a raiz real é 1, pois 1³ - 3∙1² + 7∙1 – 5 =1 – 3 + 7 – 5 = 1

                Pelas relações de Girard na solução de polinômios (Relação de Girard: relação entre as raízes de um polinômio e seus coeficiente):

                -Dado o polinômio ax³ + bx² + cx +d com raízes x₁, x₂, x₃ , teremos as relações:

                    x₁ + x₂ + x₃ = -b /a

                    x₁ x₂ x₃ = -d/a

                    x₁ x₂, + x₂x₃ + x₁x₃  = c/a

                Neste problema,

                1 + (a + bi) + (a – bi) = 3

                1(a +bi)(a – bi) = 5      (i² = -1)

                Assim,

                1 + 2a = 3 → 2a = 3 -1 → a = 2 /2 → a = 1

                a² + b² = 5 → 1² + b² = 5 →b² = 5 – 1 → b = √4 → b= ±2

                A questão pede para acharmos a parte real de ξ³.

                Sendo ξ = 1 +2i (com a parte imaginária positiva)

              ξ³ = (1 + 2i)³

                   = 1³ + 3∙1²(2i) + 3∙1∙(2i)² + (2i)³

                   = 1 + 6i + 3∙4(-1) + 8(-1) i

                ξ³ = 1 – 12 +6i – 8i = -11 – 2i

                A parte real de ξ³ é -11. A resposta da questão é a letra A.