Duas circunferências de raio 1 e
2 tem centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os
dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos
distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
O valor de (x1 + y1)2
+ (x2 + y2)2 é igual a :
a) 5/2
b) 7/2
c)
9/2
d) 11/2
e) 13/2
A
questão nos informa que as duas circunferências tangenciam os eixos
coordenados, daí podemos concluir que os centros de cada circunferência tem
coordenadas C1(1,1) e raio 1, e C2(2,2) e raio 2.
Além
disso os pontos (x1,y1) e (x2,y2)
onde elas se tocam
pertencem tanto a circunferência de raio 1 quanto a circunferência de raio 2 e
se pertencem às duas circunferências, os dois pontos satisfazem as duas
equações da circunferência.
(Equação da circunferência: r2
= (x1 –x)2 + (y1 – y)2, onde (x,y)
é a coordenada do centro da circunferência e r é o raio).
Da circunferência de raio 1 temos
que: Da circunferência de
raio 2 temos que:
(x1-1)2 + (y1-1)2
= 12 (x1-2)2
+ (y1-2)2 = 22
(x2- 1)2 + (y2-1)2
= 12 (x2-2)2
+ (y2-2)2 = 22
Comparando as 2 primeiras equações com as
incógnitas x1 e y1:
(x1-1)2
+ (y1-1)2 = 12
(x1-2)2 +
(y1-2)2 = 22
x12 + y12
-2(x1 + y1) = -1 Subtraindo a 1ª da 2ª
equação
x12
+ y12 -4(x1 + y1) = -4
0 0
2(x1 + y1) = 3
(x1 +
y1) = 3/2
(x1
+ y1)2 = 9/4
Comparando as equações com as
incógnitas x2 e y2:
(x2- 1)2 +
(y2-1)2 = 12
(x2-2)2 +
(y2-2)2 = 22
x22
+ y22 -2(x2 + y2) = -1 Subtraindo a 1ª da 2ª
equação
x22
+ y22 -4(x2 + y2) = -4
0 0
2(x2 + y2) = 3
(x2 +
y2) = 3/2
(x2 + y2)2
= 9/4
(x1 + y1)2
+ (x2 + y2)2 = 9/4 + 9/4 = 18 /4 = 9/2
A resposta da questão é a letra
C.
Nenhum comentário:
Postar um comentário