Questão 06

Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

0   01)A catedral de Brasília foi projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer. Sua estrutura se destaca pela beleza e pela forma, um hiperboloide de rotação. A figura 4 destaca os principais elementos da hipérbole associada à forma da catedral e é possível perceber que ela tem como base um círculo de diâmetro d. Supondo que a equação dessa hipérbole seja (x² / 225) – (y² / 400) =1 e que a medida do diâmetro tenha 10 metros a mais que a distância focal, então a medida d será igual a 60 metros. CORRETA

Como a medida do diâmetro d tem 10m a mais do que a distância focal (2c), podemos afirmar que d= 2c + 10

Dos pontos notáveis da hipérbole sabemos que c² = a² + b²

E da equação dada que define a hipérbole temos que a² = 15² e b² = 20²

Logo, c² = 225 + 400

           c² = 625

           c² = 25

Como o d = 2∙25 + 10 , então  d = 60.

02)A excentricidade da elipse de equação é (x²/25) + (y²/4) = 1 é 1/3. ERRADA

A excentricidade da elipse é a razão c/a

Na elipse temos a relação a² = c² + b²  e da sua equação temos a = 5 e b = 2

Logo c² = 25 - 4

          c² = 21

          c = √21      

Assim temos que a excentricidade da elipse dada é de (√21) / 5.

04)O valor de k na matriz A = k   1  para que se tenha A^-1 = A^t  é k =0. CORRETA

                                           -1  k

Das operações e propriedades das matrizes sabemos que A ∙ A^-1 = I = 1  0

                                                                                                       0  1

Temos que A^t =  k   -1

                        1    k

Queremos saber para qual valor de k A^-1 = A^t . Uma forma simples de saber é substituindo o K por 0, mas isso pode ar uma ideia falsa de verdade, pois o 0 pode ser uma solução mas pode não ser único. Então a melhor forma de sabermos o valor de k é fazermos todas as operações necessárias para descobri-lo.

Primeiro vamos achar a matriz inversa fazendo A ∙ A^-1 = I

                                                     k   1  ∙  a  b   =  ak + c    bk + d   =   1  0   

                                                    -1   k     c  d       ck – a     dk – b         0  1 

                                              

     ak + c =1

ck – a = 0     (∙k e somar as duas equações)

c + ck² = 1

c = 1/(1 + k²) e a = k/(1 + k²)

bk + d = 0 

dk – b = 1     (∙k e somar as duas equações)

dk² + d = k

d= k/(1 + k²) e b = -1/(1 + k²)

Assim, temos que  

A^-1  =  A^t

Então k/(1 + k²) = k

           k = k + k³

           1 = 1 + k²

           k² = 0 k =0

08)Se A = 1  3  2    e   B =  3   4   1 , então o det(A∙ B^t ) não existe. ERRADA

                0  5 -1                0  -2   6  

Primeiro faremos o produto das matrizes A∙ B^t  = 17    6

                                                                        19  -16  

det(A∙ B^t ) = 17∙(-16) – 19 ∙ 6 = -272- 114 = -386 . Logo o determinante existe!

16)Se em uma loja de moda masculina Júlio comprar um par de sapatos, duas calças e três camisas, ele pagará R$ 520,00. Se comprar, na mesma loja, um par de sapatos, três calças e cinco camisas, pagará R$ 760,00. Logo, na compra de um par de sapatos, de uma calça e de uma camisa, nessa mesma loja, Júlio pagará R$ 280,00. CORRETA

1) 1 sapato + 2 calças + 3 camisas = 520

2) 1 sapato + 3 calças + 5 camisas = 760

Se subtrairmos a relação 1 da relação 2 teremos:

3) 0 sapato + 1 calça + 2 camisas = 240

Queremos saber se:

1 sapato + 1 calça + 1 camisa = 280 é verdadeira?

Agora, se subtrairmos a relação 3 da relação 1 teremos:

1 sapato + 1 calça + 1 camisa = 520 – 240 = 280.