Maths / Matemática

Questão 5

Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01)Os juros médios no cartão de crédito chegaram, em fevereiro de 2016, ao maior patamar desde outubro de 1995, segundo levantamento da Anefac. A taxa mensal atingiu 14,72%. Logo, o montante a ser pago por um consumidor que usou R$ 2.000,00 no rotativo do cartão de crédito por 30 dias é de R$ 2.294,40, sem que se levem em conta os outros encargos referentes ao atraso no pagamento da dívida financiada. CORRETA

-Se forem cobrados 14,72%a.m. de juros, significa que serão acrescidos no valor emprestado esse mesmo valor, ou seja,

2000,00 ∙ 0,1472 = 294,40

- O valor cobrado será de R$ 2294,40

- Também podemos calcular o valor total de forma direta:

2000,00 ∙ 1,1472 = 2294,40.

02) Em 1987, o governo criou a Unidade Referencial de Preços (URP), que corrigia o salário dos três meses seguintes a partir de uma taxa prefixada com base na média geométrica da inflação dos três meses anteriores. Para os trabalhadores, teria sido mais vantajoso se o governo tivesse utilizado como base a média aritmética da inflação dos três meses anteriores, tendo em vista que a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica, para quaisquer números positivos dados. CORRETA

- Para qualquer número positivo dado, temos que:

Ma ≥ Mg (demonstração nos comentários)

04) ∑ (2n + 2) é uma forma de representar a soma dos números que calculamos na expressão 2n + 2 quando substituímos n por 1, depois por 2, depois por 3 e assim sucessivamente, até n=k. O valor de k para que ∑ (2n + 2) = 130 é 10. CORRETA

- Temos que: (2∙1 + 2) + ... + (2∙k + 2) = 130

4 + 6 + 8 +...+ 2k + 2)] = 130

- Soma dos k primeiros termos da PA de razão 2

S_k = [4 + (2k + 2)]k / 2= 130

(2k² + 6k) / 2 = 130

k² + 3k -130 = 0

k= 10 ou k = -13 com k cresce podemos descartar o valor negativo.

08) Considere uma sucessão infinita de círculos concêntricos em que cada círculo tem diâmetro igual ao dobro do diâmetro do círculo seguinte. Se o primeiro círculo tem raio de 3 cm, então a soma das áreas desses círculos é 18 πcm². ERRADA

- Podemos considerar a soma das áreas como uma soma infinita de uma PG;

- Sendo a área do primeiro círculo igual a: r²πcm² = 9πcm², a área do 2º círculo: 2,25πcm² e a área do 3º círculo: 0,5625πcm², podemos concluir que a razão dessa PG é ¼.

- Assim, Soma da PG infinita é dada pela equação: a₁ / (1 – q) =

9 / (1 – ¼) = 9 ∙ (4/3) = 12πcm².

16)Suponha que na tabela da figura 3 estejam as estaturas da Mafalda e da sua turma (personagens da Mafalda).

Personagem	Altura (cm)
Miguelito	117,5
Susanita	125,4
Libertad	107,3
Mafalda	120
Manolito	116,4
Guille	108,7
Filipe	117,5
Mamã (mãe)	169
Papá (pai)	179,2

Com base nos dados acima, é correto afirmar que a estatura média dos personagens da Mafalda é de cm. 129 CORRETA

- a Média das alturas dos personagens da Mafalda é dada pela soma de todas as altura dividida pelo número de pessoas:

(117,5 + 125,4 + 107,3 + 120 + 116,4 + 108,7 + 117,5 + 169 + 179,2) / 9 =

1161 / 9 = 129 cm.

Comentários:

- Nesta questão resolvemos as proposições usando Progressão Aritmética, Progressão Geométrica, Média Geométrica e Média Aritmética, além da primeira proposição que foi sobre porcentagem.
-Juros

Valor futuro (V_f)

Se Vp é o valor inicial de um investimento (ou de uma dívida) que cresce mensalmente a uma taxa r, então, ao final de n meses, o valor investido (ou a dívida) será igual a

V_f = V_p(1 + r)ⁿ.

- Lembrando algumas fórmulas de PA e PG:

r = a_n – a_n-1(r: razão da PA)

a_n = a₁ +(n -1) ∙ r

a_n = a_k + (n – k) ∙ r

S_n = (a₁ + a_n)∙n / 2 (soma dos termos de uma PA)

q = a_n / a_n-1 ( q: razão da PG)

a_n= a₁ ∙ q^n-1

a_n= a_k ∙ q^n-k

P_n = ±√|(a₁ ∙ a_n)ⁿ|

S_n = a_n(q_n -1) / (q – 1) ou S_n = (a_n ∙ q -1) / q – 1)

S_∞ = a₁ / (1 – q)

- Médias

- Prova de que a Média Aritmética é maior do que a Média Geométrica

Uma observação importante que devemos fazer é que escrevendo (a – b)² ³ 0, segue-se que

a² – 2ab + b² ³ 0,

ou ainda,

(a² + b² ) / 2 ≥ ab(*),

com igualdade quando a = b.

Este é um resultado bastante simples e que será generalizado mais adiante.

Se a e b forem positivos, podemos ainda escrever a = √x, para algum real x e b = √x, para algum y real . De (*), segue-se que para quaisquer x, y > 0,

(x + y) / 2 ≥ √xy,

com igualdade ocorrendo se, e somente se, x = y.

Agora, suponha que o teorema seja válido para quaisquer n números reais positivos (Hipótese de Indução). Vamos mostrar que para quaisquer 2n reais positivos o teorema continua válido. De fato, considere os reais positivos a₁, a₂,..., a_n, a_n₊₁,..., a_2n. Temos