Resolução comentada prova de matemática - UFSC 2017

1ª Questão

01) Se duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos em que o maior ângulo excede o menor em 32°30’, então a medida do menor ângulo é de 73°45’. CORRETA

- Uma reta transversal que corta duas retas paralelas forma com elas ângulos respectivamente congruentes.

Ângulos colaterais são os ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal, mas cada um em uma paralela. Mas como são congruentes, sua soma é 180°, ou seja,  β + θ = 180º.

Logo, sendo θ = x o ângulo menor, tomamos o ângulo maior por β = x+32º30' 

Assim, x + (x+32º30') = x+ x+32,5º (cada grau possui 60', então 0,5º tem 30')

            2.x + 32,5º = 180º (subtrai-se -32,5º de ambos os lados da igualdade)

            2.x = 180º – 32,5º

            2.x = 147,5º (divide-se os dois lados da igualdade por 2)

            x = 73,75º (0,75º equivale a 45')

            x = 73º45'

02) Na figura 1, o segmento MN é paralelo ao segmento BC. Se as medidas dadas na figura estão expressas em centímetros, então o perímetro do triângulo é de 40 cm. CORRETA

- A reta que passa por M e N é paralela ao lado BC do triângulo. Por paralelismo temos que o ângulo C é congruente ao ângulo N, o ângulo A é comum ao triângulo ABC e ao triângulo AMN e, também por paralelismo, o ângulo B é congruente ao ângulo M. Logo, o triangulo ABC é semelhante ao triângulo AMN.

-Traçando uma reta paralela ao lado AB, passando por N teremos também outro triângulo NPC semelhante a ABC, considerando paralelismos e ângulo comum.

-Traçaremos uma última reta paralela ao lado AC passando por M e também teremos outro triangulo MBP semelhante a ABC.

Mais do que isso, analisando as congruências dos 4 triângulos formados, notamos que eles são todos congruentes(casos de congruência LAA e LAL) , ou seja, o perímetro de ABC é :              AN + NC + CB + BM + MA,

8+8+16+4+4= 40

04) Uma mesa possui duas opções para tampo:

1a) Forma de hexágono regular cujo lado mede 50 cm;

2a) Forma de um quadrado cujo lado mede m.

Então, o tampo de maior área é o hexagonal. ERRADA

Hexágono regular: formado por 6 triângulos equiláteros

Área do quadrado 

Logo, o tampo de maior área é o quadrado.

08) Na figura 2, sejam A , A' e A" triângulos equiláteros, construídos respectivamente sobre a hipotenusa a e sobre os catetos b e c de um triângulo retângulo, então a área A é igual à soma das áreas de A' e A" . CORRETA

-Os 3 triângulos são equiláteros, ou seja, a altura corta a base em seu ponto médio, formando com ela um ângulo reto. Assim temos um triângulo retângulo de lados:
hipotenusa: a,
cateto equivalente à altura:


 cateto equivalente à metade da base: a/2  
                  

-Área do triângulo A: 

-Usando o mesmo raciocínio para os outros 2 triângulos teremos:

Área do triângulo A’:    



e a Área do triângulo A”:

Como o triângulo central é retângulo:

Se somarmos as áreas dos triângulos A’ e A”, teremos:

área do triângulo A

A resposta correta da Questão é 11.

Comentários:

Nesta questão foram abordados alguns assuntos da geometria plana como:

-Paralelismo:

        Se duas retas paralelas distintas interceptam uma reta transversal, então os ângulos alternos são congruentes. Além disso os colaterais são suplementares. 

      Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou suplementares.

-Congruência de triângulos

        Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

·         Seus lados são ordenadamente congruentes ao outro;

·         Seus ângulos são ordenadamente congruentes ao outro.

Casos de congruência

·         LAL: se dois triângulos tem ordenadamente lado, ângulo e lado congruentes, então eles são congruentes;

·         ALA: se dois triângulos tem ordenadamente ângulo, lado e ângulo congruentes, então eles são congruentes;

·         LLL: se dois triângulos tem os 3 lados congruentes, então eles são congruentes;

·         LAAo: se dois triângulos tem lado, ângulo adjacente e  ângulo oposto congruentes, então eles são congruentes;

·         Caso especial para triângulo retângulo: se dois triângulos retângulos tem ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes.

-Áreas de figuras planas 
   Área do hexágono regular

 

   Área do quadrado