Questão 07

A figura 5 representa parte do mapa de uma cidade em que uma unidade linear do plano cartesiano corresponde a 1km.

Com base nos dados da figura, é correto afirmar que:

01)A equação da reta que passa pela praça e pela igreja também passa pelo banco. ERRADA

- A equação da reta que passa pela praça e pela igreja é definida pelos pontos Igreja(3,5) e Praça(5,3) assim:

y₂ – y₁ = m(x₂ – x₁)

Podemos achar o coeficiente angular m = (3 – 5) / (5 – 3) = -2 / 2 = -1

Substituindo um dos pontos na equação e o coeficiente angular, teremos a equação da reta que passa pela praça e pela igreja:

y – 5 = -1(x – 3)

y – 5 = -x + 3

y+ x -8 = 0

- Agora podemos substituir as coordenadas do ponto do banco, se a equação da reta for satisfeita, então a reta que passa pela igreja e pela praça é a mesma que passa pelo banco: y + x – 8 = 0

Banco(8,1): 1 + 8 – 8 = 1 ≠ 0. Logo as retas não são as mesmas.

02)A reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta que passa pela igreja e pelo hotel tem equação 8 = y. ERRADA

         - A reta que passa pela Igreja(3,5) e pelo Hotel(10,5) tem coeficiente angular:

m = (y₂ – y₁) /(x₂ – x₁) = (5 – 5)/(10 – 3) = 0,

ou seja, é paralela ao eixo x.

         - Para que a reta que passa pelo Banco(8,1) seja perpendicular a reta que passa pelo Hotel e pela Igreja e é paralela ao eixo x, ela deve ser paralela ao eixo y. ela não corta o eixo y em nenhum ponto e passa pelo ponto x=8, essa é a reta perpendicular.

04)A equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é

x² + y² -10x – 6y +24 = 0. CORRETA

         - Circunferência com centro na praça terá sua coordenada coincidentes com a coordenada da praça: C(5,3) e passando pela escola. Assim seu raio será igual a distância entre a praça e a Escola(2,2):

r = d; e d² = (5 – 2)² + (3 – 2)²

r²= 9 + 1

r = √10

         - A equação da circunferência é dada pela fórmula: (x – a)² + (y – b)² = r²  , sendo C(a,b) = (5,3). Assim:

(x – 5)² + (y – 3)² = 10

x² – 10x + 25 + y² – 6y + 9 -10 = 0

x² + y² – 10x -6y + 24 = 0 ,

como queríamos comprovar.

08) A distância da escola ao hotel é de √73 km. CORRETA

         - A distância entre o hotel(10,5) e a escola(2,2) é dada pela equação:

d² = (10 – 2)² + (5 – 2)²

d² = 64 + 9

d = √73

16) A área do quadrilátero convexo formado pela escola, pelo banco, pelo hotel e pela igreja tem 23,5km². CORRETA

          - Podemos calcular a área do quadrilátero como a soma das áreas de 2 triângulos cujos vértices coincidem com as coordenadas dos pontos dados. O triângulo 1 Escola(2,2), Igreja(3,5), Banco(8,1) e o triângulo 2 Hotel(10,5), Igreja(3,5), Banco(8,1).

         - A área do triângulo é dada como a metade do determinante da matriz formada pelos vértices.

         S₁ = (1/2) ∙  2  2  1         S₂ = (1/2) ∙  8  1  1

                           8  1  1                          3  5  1

                           3  5  1                         10  5  1

S₁ = (1/2) ∙ (48 – 29)               S₂ = (1/2) ∙ ( 65 – 93)

S₁ = 19 / 2                             S₂ = 14

Área total = S₁ + S₂

Área total = 9,5 + 14 = 23,5 km²

32) O ponto da circunferência, com centro na praça e que passa pela escola, que fica mais próximo da igreja é (3,4). ERRADA

     

- Se substituirmos o ponto dado na equação da circunferência, teremos:

   3² + 4² -30 -24 + 24 = 9 + 16 – 30 ≠ 0. Logo, o ponto não pertence a circunferência.

         *Já achamos a circunferência com centro na praça na alternativa 04:

x² + y² – 10x -6y + 24 = 0

         - Por curiosidade, vamos achar o ponto da circunferência mais próximo da Igreja:

          - A reta que passa pelo centro C(5,3) também passa pela Igreja(3,5) e nela está o ponto mais próximo a Igreja e pertencente a circunferência:

         - Esta reta já foi achada na alternativa 01:

y + x -8 =0

         - O ponto que pertence a reta y+x-8=0 e também pertence a circunferência x² + y² – 10x -6y + 24 = 0, e está entre C(5,3) e a Igreja(3,5) é o mais próximo da Igreja.

Temos da reta que: y = 8-x.

Substituindo na equação da circunferência teremos:

x² + (8-x)² – 10x -6(8-x) + 24 = 0

x² + 64 – 16x + x² -10x -48 +6x +24 = 0

2x² - 20x + 40 = 0

x² – 10x +20 = 0

x =(5 ± √5 x’ = 5 + √5 e  x’’ = 5 - √5

Assim teremos y’ = 8 – (5 + √5 ) e y’’ = 8 –(5 - √5)

                      y’ = 3 - √5              y’’ = 3 + √5

A distância entre C(5,3) e a Igreja(3,5) é: d² =4 + 4; d = 2√2

Testando o ponto(x’,y’) vamos verificar se a distância é menor do que 2√2:

Distância da Igreja até o ponto:

d’² = [3 - (5 +√5)]² + [5 - (3 -√5)]² =

d’² = (-2 + √5)² + (2 - √5)² =

d’² = (4 -4√5 + 5) + (4 -4√5+ 5)

d’² = 18 -8√5 d’² =0,1114    d’ ≅ 0,338  <  2√2 ≅ 2,82

Assim (x’, y’) = (5 + √5 , 3 - √5) é o ponto mais próximo da Igreja pertencente a circunferência.

A resposta da questão é 28.