Números Complexos ℂ

É o conjunto do números com raízes pares negativas. Assim os Complexos é a união deste conjunto de números que estão fora dos reais mais os próprios reais.

Definição:  são os pares ordenados (x,y) com x, y є ℝ / z = (x,y), z є ℂ.

A multiplicação, adição e igualdade ficam definidas desta forma:

Adição:

         z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

         z₁ + z₂ = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

         A subtração fica definida como a soma com z negativo.

         z₁ - z₂ = (a,b) + (-c,-d) = (a-c, b-d)

Com as propriedades Comutativa, Associativa, Elemento Neutro da Soma e Elemento Oposto.

Multiplicação

         z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

         z₁ ∙ z₂ = (a,b) ∙ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)

         A divisão fica definida como o produto de um pelo inverso do outro, sendo que o inverso de z é z’’=(a/(a²+b²), -b/(a²+b²))

         Assim a divisão z₁/z₂ = z₁ ∙ z₂’’ =(a,b) ∙ (c/(c²+d²), -d/(c²+d²))

         As propriedades da multiplicação também se mantém: Associativa, Comutativa, Elemento Neutro e Elemento Inverso.

Igualdade

          z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

z1 = z2 ⇔  a =c e b = d.

Unidade Imaginária

         É o número complexo (0,1) indicado por i com a propriedade básica

i² = -1

Sendo z = (x,y) = (x,0) +(0,y) = (x,0) + (y.0 – 0.1, 1.y + 0.0)=(x,0) + (y,0).(0,1) Assim, podemos escrever z = x + yi  chamada forma algébrica.

Conjugado de z

         Chamamos de conjugado de z ao complexo z  = x – yi  

Forma trigonométrica

         Para apresentarmos a forma trigonométrica de um complexo, precisamos introduzir alguns conceitos como:

            Norma de um número complexo: N(z) = x² + y²

            Módulo de um número complexo: |z| = √(x² + y²)

            Argumento de um número complexo: argumento é o ângulo θ formado pela reta que liga o número complexo (x,y) até a origem com o eixo das abcissas.

cosθ = x/ρ   e  senθ = y/ρ  , onde ρ =|z|

         Expostos estes conceitos, a forma trigonométrica de um número complexo é:                                             

z = ρ∙ (cosθ + isenθ)

Operações com a forma trigonométrica

         Potenciação: z = ρⁿ ∙ (cos nθ + i∙sen nθ)

         Radiciação: z = ⁿ√ρ ∙ [cos(θ/n + k ∙ 2π/n) + i ∙ sen(θ/n + k ∙ 2π/n)]

Representação Geométrica

         Podemos interpretar ⁿ√|z| como sendo o raio de uma circunferência de centro(0,0) e z (já que z assume valores distintos, porém todos com o mesmo módulo) como pontos da circunferência dividindo-a em n partes iguais. Assim, se n = 2 a circunferência fica dividida em 2 partes iguais, se n ≥ 3 os pontos serão vértices de um polígono inscrito nessa circunferência.