Números Racionais ℚ

         Os números racionais sugiram da necessidade de dividir partes inteiras que não obrigatoriamente resultasse em números inteiros. Os racionais podem ser representados pelo quociente de dois números inteiros. Sendo m, n є ℤ, então m/n є ℚ. E, em particular, qualquer número inteiro é um racional especial do tipo: m/1.

Valor Absoluto nos Racionais:

 O valor absoluto ou módulo é definido da seguinte forma

         |a| = a sempre que a≥0

         |a| = -a se a<0

Propriedades:

         -|a| ≤ a ≤ |a|

         |ab| = |a|∙|b|

         |a+b|≤|a| +|b|

         |a| - |b| ≤ |a – b| ≤ |a + b|

         Se b ≠ 0, então |b^-1| = |b|^-1 e |ab^-1| = |a| ∙ |b|^-1

Operações nos Racionais

 - Adição em ℚ

         Definição: sejam a=(m/n) e b=(r/s), a soma a+b fica definida da seguinte maneira:                   a + b = (m/n) + (r/s) = (ms + nr)/ns.

 - Propriedades da Adição nos Racionais (a, b, c , m, n є ℚ)

         Associativa (a + b) + c = a + (b + c)

         Comutativa a + b = b + a

         Elemento Neutro pra Soma a + 0 = a

         Elemento Oposto da Soma se a=m/n seu oposto será –a = -m/n

                   Assim a + (-a) = m/n + (-m/n) = (mn – mn)/n = 0/n = 0

 - Multiplicação em ℚ

         Definição: chama-se produto de a=m/n є ℚ por b=r/s є ℚ o elemento                                         ab = a ∙ b = mr/ns є ℚ.

 - Propriedades da Multiplicação nos Racionais (a, b, c є ℚ)

         Associativa (ab)c = a(bc)

         Comutativa ab =ba

         Elemento Neutro do Produto (a/b) ∙ (1/1) = a/b

         Para todo a є ℚ existe um elemento b є ℚ tal que ab =1(elemento inverso)

         Distributiva do Produto a(b + c) = ac + ac

Relação de Ordem nos Racionais

         Propriedades da relação de ordem: (⩝ a=m/n, b=r/s, c=p/q є ℚ)

                            Reflexiva (m/n) ≤ (m/n)

                            Antissimétrica (m/n) ≤ (r/s) e (r/s) ≤ (m/n) ⇒ (m/n) =(r/s)

                            Transitiva (m/n) ≤ (r/s) e (r/s) ≤ (p/q) ⇒ (m/n) ≤ (p/q)

                            A relação ≤ é total (m/n) ≤ (r/s) ou (r/s) ≤ (m/n)

                            Compatibilidade com a adição se (m/n)≤(r/s)⇒(m/n)+(p/q)≤(r/s)+(p/q)

                            Compatibilidade com o produto (m/n) ≤ (r/s) e 0 ≤ (p/q) ⇒                                                      (m/n)∙(p/q) ≤(r/s)∙(p/q)

         Outras Propriedades:

                            a ≤ b ⇔ 0 ≤ b - a ⇔ -b ≤ – a

                            a < b ⇔ –b < –a ⇔ 0 < b - a

                            a ≤ b e c ≤ d ⇒ a +c ≤ b +d

                            Regra de Sinais: a > 0 e b >0 ⇒ ab > 0

                                           a < 0 e b < 0 ⇒ ab > 0                   

                                                     a < 0 e b > 0 ⇒ ab < 0

                            a² ≥ 0 ⩝ a є ℚ

                                             a < b e c > 0 ⇒ ac < bc

                            a < b e c < 0 ⇒ac > bc

                            ac ≤ bc e c > 0 ⇒a ≤ b

                            ac ≤ bc e c < 0 ⇒ a ≥ b

                            (a > 0 ⇒ a^-1 > 0) e (a < 0 ⇒ a^-1 <0)

                            (0 < a <1 ⇒ 1 < a^-1) e (1 < a ⇒ 0 < a^-1 < 1)

                            0 < a < b ⇒ 0 < b^-1 < a^-1

                            a < b < 0 ⇒ b-¹ < a^-1 <0

                            Quaisquer que sejam a, b є ℚ, se a < b, então existe c tal que a < c < b.

                            Os racionais estritamente positivos não tem mínimo

                            Se a, b são racionais e b>0, então existe um n natural n≠0 tal que nb>a.

        

Frações Decimais ou Números Racionais Decimais.

         - Todo número racional pode ser representado por uma fração cujo denominador é uma potência de 10: r /10ⁿ ou r∙10^-n(Notação Científica).

         - Também podemos representar um número racional por uma razão ou quociente da divisão entre outros dois números inteiros. E a partir desta razão podemos comparar valores.

Proporcionalidade

         - Quando, na comparação desses valores, notamos que duas razões, escritas de forma diferente, são iguais, dizemos que são proporcionais. Assim proporção é a igualdade entre duas razões.

         - E além disso, duas grandezas são ditas Diretamente Proporcionais quando, se aumentarmos uma a outra também aumenta e a razão continua a mesma. E são ditas Inversamente Proporcionais quando aumentamos uma e a outra diminui e ainda assim a razão entre uma e o inverso da outra continua constante.

         - Muitas vezes na comparação de valores diretamente proporcionais, desconhecemos um dos valores a ser comparado e para ajudar nesse problemas lançamos mão da Regra de três:

          Por exemplo: se para percorrer 300km em uma viagem, leva-se 4 horas, quantas horas levariam para fazer uma viagem de 900km a uma velocidade constante?

         - A Regra de Três Simples é basicamente uma comparação de valores. Se em 300km gasta-se 4 horas, multiplica-se 3 e teremos o trajeto que queremos:

3 x 300 = 900km, multiplica-se também o tempo 4h x 3 = 12h. Esse é o tempo de viagem! Ou,

300km->4h

900km->x horas

X = (900∙4)/300 = 12 horas.

- A regra de três também é utilizada para valores inversamente proporcionais, só devemos diferenciá-la pela constante ser o resultado de um produto e não de uma razão como no caso das grandezas diretamente proporcionais.

Por exemplo, para se encher uma piscina com 3 registros iguais leva-se 21 horas, quanto tempo levaria se apenas 2 registros fossem aberto?

         - Como diminuímos o número de registros aberto o tempo para a piscina encher vai aumentar.

3 registros -> 21horas

2 registros -> x horas

Mas nesse caso a proporção é mantida pelo produto e não pela razão, desta forma, teremos: 3∙21 = 2∙x

x = 63/2

x = 31,5 horas para encher a piscina com apenas 2 registros abertos.

Regra de Três Composta

         - E utilizada em problemas mais complexes onde a comparação é feita com mais de 2 valores, e por isso é necessária mais de 1 comparação para chegarmos no valores questionado.

Por exemplo: 16 professores corrigem 48.000 provas em 9 dias. Quantos professores seriam necessários para corrigir 50.000 provas em 8 dias?

Se aumentamos o números de provas temos que aumentar o número de professores, estas são grandezas diretamente proporcionais:

16 ⇒ 48000

x ⇒ 50000

x = (50∙16)/8 ≅ 16,67 professores

16,67 professores foram capazes de corrigir 50.000 provas em 9 dias, quantos professores precisaríamos para corrigir a mesma quantidade em 8 dias e diminuindo o número de dias temos que aumentar o número de professores, essas grandezas são inversamente proporcionais:

16,67 ⇒ 9

x ⇒ 8

16,67∙9 = x∙8

x = 150/8 = 18,75 professores são necessários para corrigir 50.000 provas em 8 dias.

Porcentagem

         - Nada mais é do que a razão da forma a/100 e na sua representação decimal apresenta o símbolo “%”.

Por exemplo: Se a população brasileira é de 200 milhões de pessoas e as mulheres são 110 milhões, qual a porcentagem da população é mulher?

         Se 200 milhões correspondem a 100% da população

              110 milhões irão corresponder a x%

         Assim x = (110∙100)/200 = 55% da população brasileira é composta por mulheres.

        

- Os Juros também são uma razão em porcentagem que incide sobre uma quantia de dinheiro por determinado período de tempo, visando um lucro ou sendo onerado por algum motivo como empréstimo ou parcelamento de dívida.

Exemplo Juros simples: Numa aplicação financeira rendendo 20%a.a. a juros simples, em quanto tempo dobrará o valor inicial?

V_f = V_i(1+r∙n)

2V_i =V_i(1+0,2n)

2 = 1 + 0,2n

0,2n =1

n = 5 anos. Em 5 anos o valor inicial terá dobrado.

Exemplo Juros Compostos: Aplicando um valor R$500,00 em um fundo de investimento com rendimento de 1% a.m. Qual o valor total ao final de seis meses?

         - Aplicando 500,00 a 1%a.m, ao final de 1 mês tem-se 505,00

                           Ao final de 2 meses, tem-se 510,05

                          Ao final de 3 meses, tem-se 515,1505       

                                                        ⋮

                         Ao final de 6 meses, tem-se 500(1,01)⁶ = R$ 530,76

Desta forma, podemos calcular o valor final de um investimento ou dívida por essa fórmula:

V_f = V_i(1+r)ⁿ

Onde V_f é o valor final

         V_i é o valor inicial

         r é a taxa de juros

         n é o tempo em que a taxa incide sobre o valor inicial.