Conjuntos Numéricos
ℕ
={0,1,2,3,4,5,6,7,...} Todo número natural tem um sucessor, mas o zero não é
sucessor de nenhum número.
Operações nos Naturais
-Adição
ℕ: ⩝ a,
b, c є ℕ
Propriedades:
Associativa a+(b + c)) = (a + b)+c
Comutativa a + b
= b + a
Elemento Neutro da
Adição a + 0 = a
Cancelamento da
Adição a + b = a + c ⇒ b=c
-Multiplicação
ℕ: ⩝ a,
b, c є ℕ
Propriedades: Associativa a(bc) = (ab)c
Comutativa ab = ba
Elemento Neutro
da Multiplicação a∙1 = a
Anulamento do
Produto ab = 0 ⇒ a=0 ou b=0
Cancelamento do Produto ac = bc e c≠0 ⇒
a=b
Se ab = 1 ⇒ a=1
e b=1
Distributiva da multiplicação a(b + c) = ab + ac
- Relação de Ordem em ℕ
Propriedades da relação de ordem: (⩝ a,
b, c є ℕ)
Reflexiva a ≤ a
Antissimétrica a ≤ b
e b ≤ a
⇒ a
=b
Transitiva a ≤ b
e b ≤ c
⇒ a
≤
c
A relação ≤ é
total a ≤ b
ou b ≤ a
Compatibilidade com a adição se a ≤ b
⇒
a+c ≤b+c
Compatibilidade com o produto a ≤ b
⇒ a∙c ≤b∙c
Se a ≤ b
⇒ a
+ 1 ≤b
Princípio do Menor Natural:
Se L ≠ ∅ e
L ⊂ ℕ ⇒∃ m
є L /
m≤x ⩝ x
є
L.
Divisibilidade em
Um número natural ‘a’ divide um natural ‘b’ (a|b) se b = ac,
para algum c є ℕ.
Assim dizemos que ‘a’ é divisor de ‘b’, ‘b’ é múltiplo de ‘a’ ou ‘b’ é divisível
por ‘a’.
-
Propriedades da relação a|b
Reflexiva a|a, pois
a = a∙1
Antissimétrica a|b e
b|a ⇒
a=b
Transitiva a|b e b|c
⇒
a|c
Se a|b e a|c ⇒
a|(bx + cy) ⩝ x, y є ℕ
Se
c|a, c|b e a ≤ b ⇒
c|(b-a)
Se a|b e b ≠ 0 a ≤ b
Números
Inteiros ℤ
O conjunto dos números
inteiros foram introduzidos a partir da necessidade de entender a operação de
subtração, ou seja, entender os números negativos, já que a subtração não passa
da operação de adição envolvendo números negativos. O conjunto ℕ ⊂ ℤ, e o conjunto dos inteiros é formado pelos Naturais mais seus opostos.
ℤ =
{...,-5,-4,-3,-2,-1,0-1,2,3,4,5,...}
Operações nos Inteiros
-Adição ℤ: ⩝ a,
b, c є ℤ
Propriedades:
Associativa a+(b + c)) = (a + b)+c
Comutativa a + b
= b + a
Elemento Neutro
da Adição a + 0 = a
Elemento Oposto
a + b = 0 ⇒ b=-a
-Multiplicação ℤ: ⩝ a,
b, c є ℤ
Propriedades: Associativa a(bc) = (ab)c
Comutativa ab = ba
Elemento Neutro
da Multiplicação a∙1 = a
Anulamento do
Produto ab = 0 ⇒ a=0 ou b=0
Distributiva da multiplicação a(b + c) = ab + ac
Valor Absoluto nos
Inteiros: o valor absoluto ou módulo é definido da seguinte forma
|a| = a sempre que a≥0
|a|
= -a se a<0
Propriedades:
|a| =|-a|
-|a| ≤ a ≤
|a|
|ab| = |a|∙|b|
|a+b|≤|a| +|b|
Relação de Ordem nos
Inteiros
Propriedades da relação de ordem: (⩝ a,
b, c є ℤ)
Reflexiva a ≤ a
Antissimétrica a ≤ b
e b ≤ a
⇒ a
=b
Transitiva a ≤ b
e b ≤ c
⇒ a
≤
c
A relação ≤ é
total a ≤ b
ou b ≤ a
Compatibilidade com a adição se a ≤ b
⇒
a+c ≤b+c
Compatibilidade com o produto a ≤ b
e 0 ≤ c
⇒ a∙c ≤b∙c
Princípio do Menor Inteiro:
Se L ≠ ∅ e
L ⊂ ℤ . Se
L admite alguma cota inferior, então S possui um mínimo.
Outras Propriedades:
a ≤ b
⇔
-b ≤ a
⇔ 0
≤ b
– a
a < b
⇔ –b
< –a
⇔ 0
< b
- a
a ≤ b
e c ≤ d
⇒ a
+c ≤ b
+d
a ≤ b
e c < d
⇒ a
+ c < b
+ d
Regra de Sinais: a >
0
e b >0 ⇒ ab
> 0
a < 0 e b < 0
⇒ ab
> 0
a < 0
e b > 0
⇒
ab
< 0
a2 ≥ 0
⩝ a
є
ℤ
a < b
e c > 0
⇒ ac
< bc
a < b
e c < 0
⇒ac
> bc
ac ≤ bc
e c > 0
⇒a ≤ b
ac ≤ bc
e c < 0
⇒ a
≥ b
Divisibilidade
Um número ‘a’ divide outro
número ‘b’ (a|b) se b=ac para algum c є ℤ,
assim,
‘a é divisor de ‘b’ ou ‘b’ é múltiplo (ou divisível por) de ‘a’.
- Propriedades: ⩝ a,
b, c, x, y є ℤ
Reflexiva, a|a
Se a|b e b|a ⇒
a= ±b
Transitiva, se a|b e b|c ⇒ a|c
Se a|b e a|c ⇒
a|(bx + cy)
Se a|b ⇒ |a|||b|
Se a=b + c e d|c ⇒
d|a ⇔
d|b
MDC(Máximo Divisor Comum)
O mdc de ‘a’ e ‘b’ é o maior número que divide
simultaneamente ‘a’ e ‘b’ e é indicado por: mdc(a,b) = mdc(|a|, |b|)
Se d é mdc(a,b) então
d≥0
d|a e d|b
se c|a e c|b ⇒
c|d
Se a|b então o mdc(a,b) =
|a|
Se o único divisor de ‘a’
e ‘b’ é 1, ou seja mdc(a,b)=1, então dizemos que eles são primos entre si.
MMC(Mínimo Múltiplo Comum)
O mmc de ‘a’ e ‘b’ é o menor número que é múltiplo de |a| e
de |b| ao mesmo tempo e é indicado por mmc (a,b) = mmc(b,a)
Se m= mmc(a,b) então
m ≥ 0
mdc(a,b) ∙ mmc(a,b) = |a| ∙
|b| = |ab|
Números Primos
P
é primo se. E somente se, p ≠ 0 , p ≠± 1
e os únicos divisores de p são:
±p
e ±1.
Decomposição em Fatores
Primos (Teorema Fundamental da Aritmética em ℤ)
Seja a є ℤ ,
a ≠ 0 e a ≠ ±1. Então existem números primos p1,
p2, p3, ...com pr є ℤ (r≥1),
todos maiores do que 1, de maneira que:
a= p1∙p2∙p3∙
...∙pr
ou a= -p1∙p2∙p3∙
... ∙pr
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