Análise Combinatória e Probabilidade

Análise Combinatória

         Princípios de Contagem

   - Princípio da Adição: Considerando dois conjuntos A e B disjuntos (A⋂B = ⌀) com #A e #B elementos respectivamente:

         A⋃B = #A +#B elementos

   - Princípio da Inclusão – Exclusão: Considerando dois conjuntos A e B não disjuntos 

(A⋂B ≠ ⌀) com #A e #B elementos respectivamente:

         Se A e B tem elementos em comum (A⋂B ≠ ⌀)

         AB = #A + #B – #(A⋂B)

   - Princípio da Multiplicação: Sendo dois conjuntos A e B com n e m elementos respectivamente, há m∙n possibilidades de formar pares ordenados com estes elementos, ou seja, posso tomar o primeiro conjunto de m maneiras e o segundo de n maneiras independente de da maneira escolhida primeiro.

   - Num mesmo conjunto A com m elementos, o números de pares ordenados que podemos formar com os elementos de A é m(m-1).

   - Princípio Fundamental da Contagem:

Sendo os conjuntos A com n₁ elementos, B com n₂ elementos, C com n₃ elementos ...Z com n_z elementos, o número de z-uplas (sequências formadas com os z elementos, cada um deles pertencente a um conjunto) que podemos formas com os elementos destes conjuntos é n₁∙n₂∙n₃∙...∙n_z (multiplicação do número de elementos de cada conjunto). Além disso, considerando apenas o conjunto A com m elementos, o número de r-uplas (sequências formadas com os elementos do Conjunto A, tomados r a r) que podemos formar com elementos distintos de A, é  m(m-1)(m-2)(m-3)...(m(r-1)).

Arranjos, Permutações e Combinações são ferramentas que auxiliam no processo de contagem.

         Fatorial: é o produto de um número pelo seus antecessores, até 1.

         m! = m∙(m-1)∙(m-2)∙(m-3) ∙... ∙3∙2∙1

                1! =1

                0! =1

         Arranjo Simples: é a ordenação(organização) de uma sequência de m elementos tomados r a r de um dado conjunto M que possui m elementos. Representado por

A_m,r = m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-(r-1)) = m/(m-r)!

Arranjo com Repetição: é a ordenação da sequência dos #M elementos, não necessariamente distintos, do conjunto M tomados r a r, representada por 

A_m,r = m^r (arranjo de m elementos tomados r a r, com m não necessariamente distintos)

Permutação Simples: é a ordenação dos elementos de um conjunto M com m elementos distintos, tomados m a m, ou seja, é um arranjo em que r=m, e significa a quantidade de formas que podemos arrumar um conjunto com m elementos. É representado por:

P_m = m!

Permutação com Repetição: é a ordenação dos m elementos de um conjunto M, não necessariamente distintos entre si, tomados m a m. Um exemplo clássico é o anagrama da palavra ANA, onde a aparece 2 vezes. Podemos representar a permutação com repetição por:

P^m1,m2_m = m!/m₁!m2! , onde m_{1   ,}m₂ é o número de vezes que os elementos repetidos aparecem.

Permutação Circular: é a ordenação de m elementos em círculo, onde consideramos equivalentes as posições que se tornam iguais pela simples rotação do círculo.

PC_n = n!/n = (n-1)!

Permutação Caótica ou Desarranjo: é a ordenação de um conjunto em que nenhum elemento se encontra na posição original.

Dn = n!(1 – 1/1! + 1/2! – 1/3! +...+(-1)ⁿ1/n!)

            Combinação Simples: são os subconjuntos de um conjunto M com m elementos tomados r a r, em que a ordem deles não faz diferença.({a,b} = {b,a})

C_m,r = (^m_r) = m!/r!(m-r)!

         Combinação Completa: é a maneira de ordenar m elementos em r posições, com m elementos distintos, mas a colocação de m pode se repetir.

CR_{m, r} = C_{m+r-1, r} = (m+r-1)!/r!((m+r-1)-r)! = (m+r-1)!/r!(m-1)!

Binômio de Newton: método para achar coeficientes de qualquer polinômio que utiliza o somatório das combinações da potência variando de zero até ela mesma. Com ele podemos encontrar qualquer coeficiente pedido de qualquer polinômio com potências muito altas.

Termo Geral do Binômio de Newton: para acharmos qualquer coeficiente pedido k+1, teremos

T_k+1 = C_n,k a^n-kx^k

Probabilidade: métodos matemáticos para descrição e determinação de experimentos aleatórios, também pode ser entendida como a razão entre casos favoráveis e casos possíveis.

         Experimentos Determinísticos: são experimentos que se repetidos em condições semelhantes produzem resultados idênticos

Experimentos Aleatórios: são experimentos que mesmo repetidos sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

         Espaço Amostral: é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.

         Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.

         Probabilidade de A(com m resultados favoráveis) num espaço amostral Ω (com n possibilidades)

         P(A) = #A/# Ω = m/n

         Propriedades:

         0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo A ⊂ Ω

         P(∅) = 0 e P(Ω) = 1

         Se A e B são disjuntos, então P(A⋃B) = P(A) + P(B)

Resultados Igualmente Prováveis (ou Equiprováveis): são eventos que tem a mesma probabilidade de ocorrer: P(A) = P(B).

Probabilidade Condicional: é a possibilidade de um evento B ocorrer quando um evento A ocorrer antes. O evento A modifica a ocorrência de B. A probabilidade condicional é dada por: P(B/A) = P(A⋂B) / P(A)

Eventos Independentes: são eventos em que a ocorrência de um evento não altera a de outro. Assim, P(A⋂B) = P(A) ∙ P(B)