Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 1

Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.

a) Expresse o volume da caixa em função de x.

                A caixa á cortada e dobrada ficará com esta aparência:

                Seu volume é dado pelo produto largura x altura x comprimento.

                Desta forma, teremos: (16-2x)(x)(20-2x) = (16x - 2x²)(20 – 2x) = 4x³ -72x² + 320x

                V(x) = 4x³ - 72x² + 320x, para x variando de ]0,8[ pois se x=0, a caixa não existe e se x=8 se iguala a largura e a caixa também não existirá.

b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm³.

                Queremos saber quando V(x)  ≥ 384.

                4x³ - 72x² + 320x ≥ 384

                4x³ - 72x² + 320x - 384 ≥ 0 (podemos dividir a equação por 4 sem alterar a desigualdade)

                x³ - 18x² + 80x - 96 ≥ 0

              Aplicando Briot-Ruffini (este método consiste no abaixamento da potência do polinômio para um grau menor pela divisão por outro polinômio de grau 1 do tipo (x + a))

Podemos notar que 2 é uma das raízes da equação, assim podemos dividir o polinômio

 x³ - 18x² + 80x – 96 por (x -2) sem restos:

1 -18  80 -96  | 2

1 -16  48  0

Com este método repete- se o primeiro termo 1.

Para achar o segundo termo multiplica-se o anterior (1) por 2 (termo independente do dividendo) e soma -18: 1(2) + (-18) = -16

Terceiro termo: - 16(2) + (80) = 48

Quarto termo: 48(2) + (-96) = 0

Desta forma x³ - 18x² + 80x – 96 pode ser escrito como (x – 2)(1x² – 16x + 48)

e x² – 16x + 48 = (x -4)(x-12) 

Podemos, finalmente escrever a desigualdade como: (x-2)(x-4)(x-12) ≥ 0

    - Para polinômios, se o primeiro coeficiente é positivo então sua concavidade é voltada para baixo e como x³ tem coeficiente positivo então a primeira concavidade é voltada para baixo, logo qualquer valor de x entre 2 e 4 é positivo.

     - O coeficiente de x² é negativo, então sua concavidade é voltada para cima, assim para qualquer valor de x entre 4 e 12 o volume é negativo e para qualquer valor de x acima de 12 o volume é positivo.

Como x varia entre 0 e 8 a resposta para a questão é o intervalo 2 ≤ x ≤ 4, neste intervalo o volume da caixa será igual ou maior do que 384.