Resumo Sequência / PA / PG

Sequências

   -Definição: Chama-se sequência finita toda aplicação f de ℕ* → ℝ tal que a todo elemento i   (1 ≤ i ≤ n) está associado a um a_i є ℝ.

                   Chama-se sequência infinita toada aplicação f de ℕ* → ℝ, tal que todo elemento     i є ℕ está associado a um a_i є ℝ.

   -Progressão: sequência na qual os termos se sucedem obedecendo a uma certa regra de formação.

   -Progressão Aritmética: sequência que obedece a seguinte regra de formação:

           a₁ =a

                a_n = a_n-1 + r, ∀ n є ℕ, n ≥ 2. Onde a e r são números reais dados.

         Progressões Crescente: onde cada termo é maior do que o anterior. Isso acontece se        r > 0.

a_n > a_n-1  ⇔  r > 0

         Progressões Constantes: onde cada termo é igual ao anterior se r = 0.

a_n = a_n-1  ⇔  r = 0

         Progressões Decrescentes: onde cada termo é menor do que o anterior se r < 0.

a_n < a_n-1  ⇔  r < 0

Interpolação de Termos: inserção de k termos numa P.A. de extremos a₁ = a e a_n =b. Assim, temos a razão r = (b – a) / (k + 1). Sabendo os valores dos extremos, descobrimos o valor da razão e poderemos inserir quantos os k meios termos da P.A.

Fórmula do Termo Geral a_n:

a_n = a₁ + (n-1)∙r

Soma dos n termos de uma P.A:

S_n = na₁ + [n(n-1) /2] ∙ r = n ∙ (a₁ + a_n)/2

Progressão Geométrica: sequência que obedece a seguinte regra de formação:

  a₁ =a

                a_n = a_n-1 ∙ q, ∀ n є ℕ, n ≥ 2. Onde a e q são números reais dados.

Progressões Crescente: onde cada termo é maior do que o anterior se,

PG com termos positivos: a_n > a_n-1  ⇔  q > 1

PG com termos negativos: a_n > a_n-1  ⇔  0 < q < 1

         Progressões Constantes: onde cada termo é igual ao anterior se a₁ = 0 e q qualquer, ou   q = 1.

a_n = a_n-1  ⇔  q = 1

         Progressões Decrescentes: onde cada termo é menor do que o anterior.

PG com termos positivos: a_n < a_n-1  ⇔  0 < q < 1

PG com termos negativos: a_n > a_n-1  ⇔  q > 1

         Progressões Alternantes: os termos oscilam no sinal quando q <0.

Interpolação numa P.G.: inserção de k termos entre os extremos dados a₁ = a e a_n = b de uma P.G. de razão q. Assim, temos a razão q como q = ^k+1√(b/a). Sabendo os valores dos extremos, descobrimos o valor da razão e poderemos inserir quantos os k meios termos da P.G.

Fórmula do Termo Geral a_n:

a_n = a₁ ∙ q^n-1

Soma dos n termos de uma P.G. Finita:

S_n = (a₁ ∙ qⁿ – a₁) / (q – 1) = (a_n ∙ q – a₁) /(q – 1)

Soma dos termos de uma P.G. Infinita:

S_n = a₁ / (1 - q)

Resumo Funções

Funções

 -Definição: Dados dois conjunto A e B, chama-se função f: A → B a toda relação na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B.

         OBS: Um elemento de A só pode ter um (uma imagem) correspondente em B, mas um elemento de B pode ser imagem de mais de um elemento de A.

 -Domínio: Sendo uma função f: A → B, A é chamado Domínio da função.

 -Contradomínio: Sendo uma função f: A → B, B é chamado Contradomínio da função.

 -Imagem: Sendo uma função f: A → B, o conjunto dos elementos de B que estão relacionados com algum elemento de A é chamado Imagem da função

Função Constante: Seja uma f: ℝ → ℝ, ela será constante se para todo elemento do Domínio existir uma única imagem.

f(x) = K , onde K є ℝ.

Função do 1º Grau, Linear ou Afim: f(x) = ax + b.

Função Crescente: a > 0. f(x) = ax + b.

f(x) =0 para x = x₀

f(x) > 0 para x > x₀  (f(x) assume valores positivos)

f(x) < 0 para x < x₀   (f(x) assume valores negativos)

Função Decrescente: a < 0, f(x) = -ax + b.

f(x) =0 para x = x₀

f(x) < 0 para x > x₀  (f(x) assume valores negativos)

f(x) > 0 para x < x₀   (f(x) assume valores positivos)

Função do 2º Grau ou Quadrática: f(x) = ax² + bx + c.

 Concavidade voltada para cima: a > 0, a função possui um ponto de mínimo no vértice da parábola.

 Concavidade voltada para baixo: a < 0, a função possui um ponto de máximo no vértice da parábola.

Igualando a função a zero achamos os zeros da função, ou seja, os pontos onde a parábola toca o eixo das abcissas.

   -Se Δ > 0: existem duas raízes, a parábola toca 2 pontos do eixo x.

   -Se Δ < 0: não existem raízes, a parábola não toca o eixo x.

   -Se Δ = 0: existe apenas uma raiz, a parábola toca apenas 1 ponto do eixo x.

Vértice da função: pontos de mínimo e máximo da função.

x_v = -b/2a y_v = - Δ/4a

Função Par: uma função será par se para qualquer x do Domínio

f(-x) = f(x)

Função Ímpar:uma função é ímpar se para qualquer x do domínio

f(-x ) = -f(x)

Função Injetora: Uma função f: A → B é considerada injetora se, e somente se, elementos distintos do domínio correspondem a elementos distintos do contradomínio. Cada elemento de B é imagem de apenas 1 elemento de A. Pode ocorrer de o conjunto B possuir elementos que não são imagem de nenhum elemento de A.

Função Sobrejetora: Uma função f: A → B é denominada sobrejetora se, e somente se, o conjunto Imagem for igual ao Contradomínio. Todos os elemento de B se relacionam com os elementos de A.

Função Bijetora: Uma função f: A → B é denominada Bijetora se, e somente se, ele for Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo.

         Toda função Bijetora possui uma inversa: f^-1: B →A.

Função Exponencial: toda função f: ℝ → ℝ, que a cada x є ℝ, faz corresponder um a^x є ℝ.

f(x) = a^x

O Domínio desta função é ℝ e o conjunto Imagem é ℝ₊.

A função Exponencial pode ser crescente: a > 1

Se x₁ < x₂ ⇔ a^x₁ < a^x₂

A Função exponencial pode ser decrescente: 0 < a < 1

Se x₁ < x₂ ⇔ a^x₁ > a^x₂

Função Logarítmica: Sendo a є ℝ, onde a > 0 e a ≠1, é a função f: ℝ^*₊ → ℝ, em que cada x є ℝ corresponde a  um log_a x

f(x) = log_ax

Função Logarítmica Crescente: a > 1

Função Logarítmica Decrescente: 0 < a < 1

Números Complexos ℂ

É o conjunto do números com raízes pares negativas. Assim os Complexos é a união deste conjunto de números que estão fora dos reais mais os próprios reais.

Definição:  são os pares ordenados (x,y) com x, y є ℝ / z = (x,y), z є ℂ.

A multiplicação, adição e igualdade ficam definidas desta forma:

Adição:

         z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

         z₁ + z₂ = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

         A subtração fica definida como a soma com z negativo.

         z₁ - z₂ = (a,b) + (-c,-d) = (a-c, b-d)

Com as propriedades Comutativa, Associativa, Elemento Neutro da Soma e Elemento Oposto.

Multiplicação

         z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

         z₁ ∙ z₂ = (a,b) ∙ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)

         A divisão fica definida como o produto de um pelo inverso do outro, sendo que o inverso de z é z’’=(a/(a²+b²), -b/(a²+b²))

         Assim a divisão z₁/z₂ = z₁ ∙ z₂’’ =(a,b) ∙ (c/(c²+d²), -d/(c²+d²))

         As propriedades da multiplicação também se mantém: Associativa, Comutativa, Elemento Neutro e Elemento Inverso.

Igualdade

          z₁, z₂ є ℂ  / z₁=(a,b) e z₂=(c,d)

z1 = z2 ⇔  a =c e b = d.

Unidade Imaginária

         É o número complexo (0,1) indicado por i com a propriedade básica

i² = -1

Sendo z = (x,y) = (x,0) +(0,y) = (x,0) + (y.0 – 0.1, 1.y + 0.0)=(x,0) + (y,0).(0,1) Assim, podemos escrever z = x + yi  chamada forma algébrica.

Conjugado de z

         Chamamos de conjugado de z ao complexo z  = x – yi  

Forma trigonométrica

         Para apresentarmos a forma trigonométrica de um complexo, precisamos introduzir alguns conceitos como:

            Norma de um número complexo: N(z) = x² + y²

            Módulo de um número complexo: |z| = √(x² + y²)

            Argumento de um número complexo: argumento é o ângulo θ formado pela reta que liga o número complexo (x,y) até a origem com o eixo das abcissas.

cosθ = x/ρ   e  senθ = y/ρ  , onde ρ =|z|

         Expostos estes conceitos, a forma trigonométrica de um número complexo é:                                             

z = ρ∙ (cosθ + isenθ)

Operações com a forma trigonométrica

         Potenciação: z = ρⁿ ∙ (cos nθ + i∙sen nθ)

         Radiciação: z = ⁿ√ρ ∙ [cos(θ/n + k ∙ 2π/n) + i ∙ sen(θ/n + k ∙ 2π/n)]

Representação Geométrica

         Podemos interpretar ⁿ√|z| como sendo o raio de uma circunferência de centro(0,0) e z (já que z assume valores distintos, porém todos com o mesmo módulo) como pontos da circunferência dividindo-a em n partes iguais. Assim, se n = 2 a circunferência fica dividida em 2 partes iguais, se n ≥ 3 os pontos serão vértices de um polígono inscrito nessa circunferência.