Resumo Sequência / PA / PG

Sequências

   -Definição: Chama-se sequência finita toda aplicação f de ℕ* → ℝ tal que a todo elemento i   (1 ≤ i ≤ n) está associado a um a_i є ℝ.

                   Chama-se sequência infinita toada aplicação f de ℕ* → ℝ, tal que todo elemento     i є ℕ está associado a um a_i є ℝ.

   -Progressão: sequência na qual os termos se sucedem obedecendo a uma certa regra de formação.

   -Progressão Aritmética: sequência que obedece a seguinte regra de formação:

           a₁ =a

                a_n = a_n-1 + r, ∀ n є ℕ, n ≥ 2. Onde a e r são números reais dados.

         Progressões Crescente: onde cada termo é maior do que o anterior. Isso acontece se        r > 0.

a_n > a_n-1  ⇔  r > 0

         Progressões Constantes: onde cada termo é igual ao anterior se r = 0.

a_n = a_n-1  ⇔  r = 0

         Progressões Decrescentes: onde cada termo é menor do que o anterior se r < 0.

a_n < a_n-1  ⇔  r < 0

Interpolação de Termos: inserção de k termos numa P.A. de extremos a₁ = a e a_n =b. Assim, temos a razão r = (b – a) / (k + 1). Sabendo os valores dos extremos, descobrimos o valor da razão e poderemos inserir quantos os k meios termos da P.A.

Fórmula do Termo Geral a_n:

a_n = a₁ + (n-1)∙r

Soma dos n termos de uma P.A:

S_n = na₁ + [n(n-1) /2] ∙ r = n ∙ (a₁ + a_n)/2

Progressão Geométrica: sequência que obedece a seguinte regra de formação:

  a₁ =a

                a_n = a_n-1 ∙ q, ∀ n є ℕ, n ≥ 2. Onde a e q são números reais dados.

Progressões Crescente: onde cada termo é maior do que o anterior se,

PG com termos positivos: a_n > a_n-1  ⇔  q > 1

PG com termos negativos: a_n > a_n-1  ⇔  0 < q < 1

         Progressões Constantes: onde cada termo é igual ao anterior se a₁ = 0 e q qualquer, ou   q = 1.

a_n = a_n-1  ⇔  q = 1

         Progressões Decrescentes: onde cada termo é menor do que o anterior.

PG com termos positivos: a_n < a_n-1  ⇔  0 < q < 1

PG com termos negativos: a_n > a_n-1  ⇔  q > 1

         Progressões Alternantes: os termos oscilam no sinal quando q <0.

Interpolação numa P.G.: inserção de k termos entre os extremos dados a₁ = a e a_n = b de uma P.G. de razão q. Assim, temos a razão q como q = ^k+1√(b/a). Sabendo os valores dos extremos, descobrimos o valor da razão e poderemos inserir quantos os k meios termos da P.G.

Fórmula do Termo Geral a_n:

a_n = a₁ ∙ q^n-1

Soma dos n termos de uma P.G. Finita:

S_n = (a₁ ∙ qⁿ – a₁) / (q – 1) = (a_n ∙ q – a₁) /(q – 1)

Soma dos termos de uma P.G. Infinita:

S_n = a₁ / (1 - q)