03)(Questão aberta)

Em circuitos elétricos como, por exemplo, o das instalações residenciais, as grandezas elétricas são analisadas com o auxílio dos números complexos. A relação U = Z ∙ j fornece a tensão U em função da impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis são expressas através de números complexos a + bi. Considere agora U = 110(cos0° + isen0°) e Z = 5 + 5i . Determine o valor da expressão 2a + b, sendo j = a + bi.

Dados:

         U = Z ∙ j

         U = 110(cos0° + isen0°) -> cos0° =1 e sen0° = 0

         Z = 5 + 5i

         J= a + bi

         Qual o valor de 2a + b ?

110(cos0° + isen0°) = Z ∙ j

110cos0° + 110isen0° = (5 + 5i) ∙ (a + bi)

110 + 110i∙0= (5a – 5b) + (5a + 5b)i

110 = (5a – 5b)   e

0 = (5a + 5b)i  ->  5a + 5b = 0  ->a = -b

Se a = -b, então 110 = 5(-b) – 5b

                         110 = -10b

                          b = -11 e a = 11

Logo, 2a + b = 2(11) + (-11)

         2a + b = 22 – 11

         2a + b =11

A resposta da questão é 11.

Comentários:

Nesta questão foi abordado o tema números complexos e suas operações.

         - O conjunto dos números complexos é o conjunto dos pares ordenados (x,y), sendo x e y Reais.

         - Unidade imaginária: i, sendo i² = -1

         - Forma algébrica: z = a + bi, sendo ‘a’ a parte real e ‘b’ a parte imaginária de z.

         - A adição e a subtração definidas como a soma (ou a diferença) das partes real e imaginária de cada número complexo.

Sendo x=(a,b) e y=(c,d) o oposto de y é y’=(-c,-d)

        x + y = (a,b) + (c,d) = [(a + c),(b + d)] =(a+c) + (b+d)i

        x – y = x + y’ = (a,b) + (c,d)’ = (a,b) + (-c,-d)=[(a - c),(b - d)] =(a-c) + (b-d)i

         - Conjugado do número z: é o conjugado de z = a+ bi se e somente se = a –bi;

         - A multiplicação e a divisão definidas como o produto (ou o quociente) entre as partes real e imaginária do número complexo.

Sendo x=(a,b) e y=(c,d) o inverso de y é y”=[c/(c² + d²), -d/(c² + c²)]

        x ∙ y = (a,b) ∙ (c,d) = [(ac - bd),(ad + bc)] = (ac – bd) + (ad + bc)i

        x ÷ y = x ∙ y’’ = (a,b) ∙ (c,d)’’ = [(ac + bd)/( c² + d²), (ad - bc)/ (c² + d²)];

- Conjugado do número z: é o conjugado de z = a+ bi se e somente se z= a –bi com a soma e o produtos definidos desta forma:

 

- Norma de z: N(z) = a² + b²;

- Módulo ou Valor Absoluto de z: |z| = √N(z);

- Argumento de z: θ tal que cos θ = a/ρ e sen θ = b/ρ com ρ=|z|;

-Forma trigonométrica ou polar de z: z = ρ(cos θ + isen θ);

      z₁∙.....∙z_n = (ρ₁∙...∙ρ_n)[cos(θ₁+...+θ_n) + isen(θ₁+..+θ_n)]

- Radiciação de z: ⁿ√z = zk se, e somente se, zkⁿ = z; E dado um número imaginário z e um número natural n(n≥2) então existem n raízes enésimas de z da forma: zk = n√ρ[cos(θ/n +K2ϖ/n) +isen(θ/n +K2ϖ/n)];

- Equações Binômias: equações redutíveis à forma axⁿ + b = 0;

- Equações Trinômias: equações redutíveis à forma ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0