Questão 4

Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01) Com 45 metros quadrados de lajotas é possível fazer, sem perdas, uma moldura de 1,5 m de largura em volta de uma piscina cujas dimensões são 8 m de comprimento por 4 m de largura. CORRETA

Tomemos S_t como a área total da piscina e da lajota, ou seja, os 8 metros de comprimento mais 3 metros de lajota de cada lado e os 4 metros de largura da piscina mais 3 metros de lajota de cada lado.

Assim,

         S_t = (8+3) ∙ (4+3) = 77m²

A área da piscina é de 8∙4 = 32m²

Subtraindo a área da piscina da área total teremos a área de lajota necessária para fazermos uma moldura de 1,5m de largura:

         S_t –S_piscina = 77 – 32 = 45m²

02) O conjunto solução da inequação (2x + 1) / (4x – 1) < 1 no conjunto ℝ é

S={ x є R / x <1} ERRADA

 

- A primeira observação a se fazer é diferenciar (4x – 1) de 0, ou seja,

Devemos achar o x que zere a equação para eliminarmos do conjunto solução:

         4x – 1 = 0

         4x = 1

         x = ¼  -> esse valor de x não pertence ao conjunto solução;

Posto isso, devemos achar as raízes da inequação dada:

         (2x + 1) / (4x -1) < 1                               (eq 1)

         (2x + 1) / (4x – 1) -1 <0

         [(2x + 1) – (4x – 1)] / (4x – 1) < 0           (eq 2)

Agora acharemos os valores de x tal que [(2x + 1) – (4x – 1)] / (4x – 1) = 0

         [(2x + 1) – (4x – 1)] / (4x – 1) = 0

         (2x + 1) – (4x – 1) = 0

         -2x + 2 = 0

         -2x = -2

         x = 1

O valor x=1 zera a equação. Mas queremos o valor de x para que ela seja menor que 0 (eq 2). Como essa equação indica uma reta crescente (a<0) ela assumirá valores negativos para qualquer x<1, mas dentre esses valores existe um valor que x deve ser diferente para não zerarmos o denominador, que é x ≠ ¼.

Logo , o conjunto solução é S={ x є R / x<1 e x ≠ ¼}.

04) Considere a operação a ⊕ b = a + b + 2ab definida para a e b reais, então o conjunto solução da equação (1⊕ 3) ⊕ x = 220, no conjunto ℝ é S={22}. ERRADA

- Segundo a definição da operação dada 1⊕ 3 = 1 + 3 + 2∙1∙3 = 10

 e, 10 ⊕ x = 220

     10 + x + 2∙10∙x = 220

     10 + 21x = 220

     21x = 210

     x = 10

Ou seja, o conjunto solução da equação dada é S={10}.

08) Devido à crise econômica, o dono de um restaurante observou que, com o preço do “prato feito” a R$ 21,00, ele servia 600 refeições por dia e que, para cada real de redução no preço, ele servia 100 refeições a mais. Com base nesses dados, é correto afirmar que o preço do “prato feito” deve ser de R$ 13,50 para que a receita do restaurante seja máxima. CORRETA

- A receita do restaurante é um lucro que depende do valor da refeição, ou seja, está em função do valor da refeição;

- Tomemos a receita como f(x) e x como o valor da refeição variável:

         f(x) = 600(21 – x) + 100x(21 – x)

- Começando com o 0 reais retirado do valor inicial de cada prato feito o dono do restaurante venderá 600 refeições à 21 reais. A cada real tirado do valor do prato feito(21 – x) o dono do restaurante garante um acréscimo de 100 refeições no valor cobrado(100x(21 – x)). Mas essa equação tem um mínimo x a partir do qual o dono do restaurante começa da ter prejuízo e não lucro. Esse mínimo está no vértice da função:

         f(x) = 12600 – 600x + 2100x – 100x²

         f(x) = -100x² +1500x + 12600

         x_v = - b/2a = -1500 / 2∙(-100)

         x_v = -1500 / -200

         x_v = 7,5  esse é o máximo que o dono do restaurante pode tirar do valor original do prato feito para ter um lucro máximo. Assim o valor da refeição será de R$ 13,50  (21 – 7,5).

16) Sendo f(x) = 6x -1 e (f o g)(x) = 30x + 29, então g(-1) = 0 CORRETA

- ‘Colocando’ a função g dentro da função f teremos:

         f(g(x)) = 6(g(x)) -1 = 30x + 29

         6(g(x)) = 30x + 30

         g(x) = (30x + 30) / 6

Logo, g(-1) = (-30 + 30) / 6 = 0.

A resposta da questão é 25.

Comentários:

-Nesta questão abordaram basicamente o tema função e inequação, já que uma das alternativas pode de forma simples ser resolvida com geometria plana (alternativa que envolvia a piscina e sua moldura de lajotas).

          - Definição de função: Uma função f é uma relação que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio, um único elemento f(x) (ou y) de um conjunto C, denominado contradomínio.

            - Características de uma função

           Seja D o domínio e C o contradomínio de uma função f, que associa a x > D

           um valor y > C. Nesse caso,

             1. Todo elemento de D deve estar associado a um elemento de C (ou seja, f deve estar                   definida para todo elemento x do domínio D).

             2. Nem todo elemento de C precisa estar associado a um elemento de D (como o zero                   e os valores negativos do conjunto C da Figura 3.45).

             3. Um elemento de D não pode estar associado a dois elementos de C (ou seja, a                           função não pode fornecer dois valores de y para um único x).

             4. Um elemento de C pode estar associado a mais de um elemento de D (ou seja, dois                   valores de x podem estar associados a um mesmo y).

         - Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável

independente pode assumir;

         - Denominamos conjunto imagem (ou simplesmente Im) o conjunto de todos os valores f(x) obtidos a partir de x > D(domínio da função);

         - No plano cartesiano o eixo x (das abcissas) é o Domínio da função, e o eixo y(das ordenadas) é a Imagem da função;

         - Os zeros da função são os valores de x para os quais y=0, ou seja, é onde o gráfico da função corta o eixo das abcissas;

         - Intervalos de crescimento e decrescimento:

Seja f uma função definida em um intervalo D. Dizemos que

1. f é crescente em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tais que x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2);

2. f é decrescente em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tais que x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2);

3. f é constante em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tivermos f(x1) = f(x2);

         - Máximos e mínimos locais

1. O valor f(x’) é um máximo local – ou máximo relativo – de f se existe um intervalo (a,b), contendo x’, tal que f(x’) ≥ f(x) para todo

x є (a,b). O valor x’ é chamado ponto de máximo local.

2. O valor f(x’) é um mínimo local – ou mínimo relativo – de f se existe um intervalo (a,b), contendo x’, tal que f(x’) ≤ f(x) para todo

x є (a,b). O valor x’ é chamado ponto de mínimo local;

         - Funções pares e ímpares

1. Uma função f é par se seu gráfico é simétrico com relação ao eixo-y, isto é, se f(−x) = f(x) para todo x no domínio de f.

2. Uma função f é ímpar se seu gráfico é simétrico com relação à origem, isto é, se f(−x) = −f(x) para todo x no domínio de f.

- Função Linear ou Função Afim é uma função que poder ser representada por: f(x) = mx + b, sendo ‘m’ e ‘b’ coeficientes reais;

- Composição de função: é o mesmo que aplicar uma função dentro de outra

           

- Função polinomial: Seja dado um número inteiro não negativo n, bem coomo                  coeficientes reais a₀, a₁,...,a_n, com a_n x ≠ 0. A função definida por

f(x) = a_nxn + a_n−1xⁿ⁻¹ +...+ a₁x + a₀

  é denominada função polinomial de grau n, com relação a x;

-Função quadrática é uma função polinomial de grau 2 do tipo:

                            f(x) = ax² + bx + c

- Características da função polinomial:

         - ‘a’ > 0 concavidade voltada para cima, ela possui um mínimo;

         - ‘a’ < 0 concavidade voltada para baixo, ela possui um máximo;

         - ‘c’ indica o ponto onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas;

         - se ∆ > 0 a parábola intercepta o eixo das abcissas em 2 pontos

               Δ =0 a parábola intercepta o eixo das abcissas em 1 ponto

               Δ < 0 a parábola não intercepta o eixo x;

         - Vértice da função é o ponto (x_v,y_v) onde a parábola atinge seu máximo ou mínimo; x_v = -b / 2a e y_v = -Δ / 4a;