Questão 09

Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que:

01)Se R(x) é o resto da divisão de A(x) = x⁴ – 2x³ +2x² – x + 4 por

B(x) = x³ – 2x² +1 , então R(1/2) = 7/2. CORRETA

x⁴ – 2x³ +2x² – x + 4  |  x³ – 2x² +1

-x⁴ + 2x³ -x                 ∣  x

0x⁴  0x³ + 2x² -2x + 4  -> resto

Assim o resto da divisão R(x) = 2x² – 2x + 4

E R(1/2) = 2(1/2)2 – 2(1/2) +4 = ½ - 1 + 4 = (1 -2 + 8)/2 = 7/2

02)Observe a figura 7, que representa parte do gráfico da função f(x)=x³+ax²+bx+3. Com base nos dados abaixo, é correto afirmar que (b-a)=0. ERRADA

          - As raízes da função dada são 3(a função tem grau 3) e são 3, +1 e -1 como mostra o gráfico.

Substituindo os valores das raízes para f(x) = teremos:

f(3)=3³ + a3² + b3 + 3 = 0  -> 9a + 3b + 12 =0 ->9a + 3b = -12  -> 3a + b = -4

f(1)=1³ + a1² + b1 + 3 =0   -> a + b +4 = 0  ->  a + b = -4

f(1)=(-1)³ + a(-1)² + b(-1) + 3 =0  -> -1 + a –b + 3 = 0  ->   a – b = -2

Assim, temos que a = -2 + b;

Substituindo o valor de ‘a’ encontrado na 2ª equação, teremos:

(-2 + b) + b = -4

2b = -4 + 2

b = -1

e como a + b = -4 então a = -3

Logo, teremos que b – a = -1 –(-3) = 2.

04) Se a forma fatorada do polinômio T(x) =x⁴ – 7x³ + 13x² + 3x – 18 é

T(x) = (x – a)²∙ (x + 1) ∙ (x – 2), então ‘a’ é par. ERRADA

- Observando a forma fatorada, podemos escrever

(x² – 2ax + a²) ∙ (x² – x – 2)=

x⁴ – (x³ + 2ax³) + (2ax² +a²x²) – (2x – 4ax + a²x) - 2a²

Comparando com a forma extendida:

7x³ = x³(1 + 2a)  ;  13x² = (2a + a²)x²  ; 3x = (-2 + 4a – a²)x e -2a² = -18

De todas as igualdades teremos que a = 3. Logo ‘a’ é impar.

08)Se(4x – 2)/(x³ – 4x) ≡ (A/x) + (B/x-2) + (C/x+2) para todo x tal que x ≠ 0, x ≠ 2 e

x ≠ -2, então A + B + C = 0. CORRETA

Trabalhando com a segunda parte da equação teremos:

[A(x-2)(x+2) + B(x)(x+2) + C(x)(x-2)] / x(x² – 4)

A(x²–4) + B(x²+2x) + C(x²-2x) = 4x – 2   (Numeradores dos dois lados da equação)

(Ax² + Bx² + Cx²) -4A + 2Bx – 2Cx = 4x - 2

(A + B + C) x² =0  ;  2x(B – C) = 4x    e -4A = -2

B – C = 2  

B = 2 + C

A = ½

Como (A + B + C)  = 0 então substituindo os valores: [1/2 + (2 + C) + C] = 0

e C =-5/4

Temos que B = 2 + C, assim B = 2 – 5/4  B  = ¾

Fazendo A + B + C = 1/2 + 3/4 - 5/4  = 0.

16) Sabe-se que 2 + i e 3 + 2i são raízes do polinômio P(x), que é de grau 5. Ao escolher,

ao acaso, uma das raízes desse polinômio, a probabilidade de essa raiz ser um número

real é de 60%. ERRADA

- Todo polinômio tem ao menos 2 raízes complexas, a própria raíz e seu conjugado. Assim, as raízes dadas 2 + i e 3 + 2i tem seus conjugados também raízes: 2 – i e 3 – 2i. Como o polinômio tem grau 5, ele possui 5 raízes, quatro nós já temos e além disso a quinta raíz é real, pois se fosse complexa, ela teria seu conjugado como raíz também e a equação passaria a ter 6 raízes, o que não acontece, pois o polinômio é de grau 5 e não 6.

Assim de 5 raízes temos 4 complexas, sendo, 5/4 = 0,8 , ou seja 80% de chances de escolhermos uma raiz complexa dentre as raízes e somente 20% de escolhermos uma raiz real.

A resposta da questão 09 é  9.