Resolção Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 5

5) Considere a função f_a : [0,1] → [0,1] que depende de um parâmetro a є ]1,2], dada por

Sabe-se que existe um único ponto p_a є ]1/2, 1[ tal que f_a (p_a) = p_a. Na figura a seguir estão esboçados os gráfico de f_a e a reta  de equação y = x.

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

                O ponto p_a pertence a reta y = x (equivalente a f(x) = x), pois f_a(p_a) = p_a e p_a também pertence a reta f_a(x) = a(1 - x)

Assim, a(1-p_a) = p_a

             a – ap_a = p_a          

            p_a + ap_a = a

            p_a(1 +a) = a

            p_a = a / (1+a)

b) Mostre que f_a (f_a (1/2)) < 1/2 para todo a ∈ ]1, 2].

                f_a (1/2) = a/2 e f_a (f_a (1/2)) = f_a (a/2)

                se 1 < a ≤ 2 então 1/2 < a/2 ≤ 1

                Se a/2 ∈ ]1/2,1] então função a ser usada é f_a(x) = a(1-x)

                f_a(a/2) = a(1-a/2)

                f_a(2/2) = 2(1-2/2)=0 e

                f_a(1) = 1(1-1/2) = 1/2

Então para qualquer valor de a ]1,2] temos f_a(f_a(1/2)) < 1/2.

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a ∈ ]1, 2] tal que f_a (f_a (f_a(1/2))) = p_a, em que p_a, é o ponto encontrado no item a).

                f_a (f_a (1/2)) < 1/2 então usaremos a relação f_a(x) = ax, assim

                f_a (f_a (f_a (1/2)))  = f_a(f_a(a/2)) = a(a(1-a/2)

                Temos que encontrar um ‘a’ ∈ ]1,2]f_a tal que (f_a (f_a (1/2))) = p_a

Então: a(a(1-a/2)) = p_a

p_a =  a/(1+a)

a(a(1-a/2)) = a/(1+a)

2a – a² = 2/(1+a)

                -a³ + a² + 2a – 2 = 0

                a³ - a² - 2a + 2 = 0

                a²(a-1) - 2(a-1) = 0

                (a² - 2)(a – 1) = 0    a = ±√2 ou a = 1. Como a deve pertencer a ]1,2] o ‘a’ procurado é √2.