Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 4

Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e CD, respectivamente.

a) Determine a área do triângulo EFH.

                Aresta mede 6cm, então AB = BC = CA = 6.

                E, F, G, H e I são pontos médios dos lados, então a distância entre eles é a mesma pois os lados do prisma são iguais.

                - Analisando o triângulo ABC da base do prisma:

                AB² = h² + (BC/2)²

                6² = h² + 3²

                h² = 36 – 9

                h² = 27

              h = 3√3 e h/2 é a altura do triângulo EFG que também é a altura de todos os outros triângulos equiláteros com vértices nos pontos médios das arestas do prisma. (Por semelhança de triângulos achamos os lados GE, FG e FE, pois os 4 triângulos internos, que formam ABC são congruentes entre si e semelhantes a ABC).

                Assim, a área de EFG = base∙altura/2 = (3.(3√3)/2)/2 = 9√3/4

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.

                Como vimos, todas as distância entre os pontos médios são iguais, portanto

EH = HI = IG = GE = 3 e sua área 3² = 9

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.

                A pirâmide tem arestas igual a 3cm e seu volume é dado por: 1/3(S_B.h).

                Como vimos a área da base EGIH é 9 e altura da pirâmide pode ser achada fazendo um corte central na pirâmide, desenhando um triângulo retângulo em que um dos lados é a altura da pirâmide, o outro lado é uma aresta da pirâmide e a base é a metade da diagonal da base.

A diagonal da base é d² = 3² + 3² → d² =18 → d = √18 → d = 3√2

 Agora, podemos aplicar Pitágoras e achar a altura da pirâmide:

HF² = (h_pir)² + (3√2/2)²

3² – 9∙2/4 = (h_pir)²

9 – 9/2 = (h_pir)²

(h_pir)² =9/2

 h_pir = 3√2/2

Tendo todas as medidas, podemos achar o volume da pirâmide:

V = 1/3(S_B∙ h_pir)

V = 1/3(9 ∙ 3√2/2)

V = 9√2/2 cm³.