Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 6Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:

c(t) = 400 – k log₃(at + 1),

em que t é dado em horas e c(t) é dado em mg/L. As constantes a e k são positivas.

a) Qual é a concentração do analgésico no instante inicial t = 0?

                Em t=0 teremos C(0) = 400 – k∙log₃(a0 +1)

                                  C(0) = 400 – k∙log₃1        (log₃ 1=x equivale a 3^x = 1 → x=0)

                                  C(0) = 400 = k∙0

                                  C(0) = 400

b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t = 2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t = 8, a concentração do analgésico no sangue é nula.

                Temos que em C(2) = ½ C(0) = 400/2 = 200

                C(2) = 400 – k log₃(a2 +1) = 200 → k log₃(a2+1) = 200

                E em C(8) = 0 ou seja, k∙log₃(a8 +1) = 400

                k log₃(2a + 1) = 200

    k log₃(8a + 1) = 400

Fazendo a razão entre as duas equações:

400[k log₃(2a + 1)] = 200[k log₃(8a + 1)]

2 log₃(2a + 1) = log₃(8a + 1)

log₃(2a + 1)² = log₃(8a + 1)

Então

(2a + 1)² = 8a + 1

4a² + 4a + 1 – 8a -1 = 0

4a² -4a = 0

a² – a = 0                            

a(a -1) = 0 →  a=1 ou a = 0 (a = 0 não vale pois o enunciado diz que a e k são constantes positivas)

e para a =1

k log₃(2∙1 + 1) = 200

k log₃(3) = 200

k ∙1 = 200

k = 200