Resolução Comentada Fase 1 Fuvest

Questão 81

              O paralelepípedo reto-retângulo A B C D E F G H, representado na figura, tem medida dos lados AB=4, BC=2, BF=2.

O seno do ângulo HÂF é igual a:

a)1/(2√5)

b) 1/√5

c) 2/√10

d) 2/√5

e) 3/√10

                De acordo com o enunciado queremos achar o ângulo  do triângulo HAF, cujos lados coincidem com as diaginais dos lados do paralelepípedo, AF, AH e HF.

Tomemos AF = y e AH =x

Usando Pitágoras para achar as diagonais, temos:

y² = 4² + 2² → y² = 16 + 4 →  y = 2√5

x² = 2² + 2² → x² = 4 + 4  → x = 2√2

Além disso a diagonal HF é igual a diagonal AF pois possuem os mesmos lados.

Diante disso, temos um triângulo de lados:
y = 2√5 
y = 2√5 
x = 2√2

Sabemos que se um triângulo possui dois lados iguais, então ao ângulos da base são congruentes, Â∼Ĥ.

Analisando a situação, temos um triângulo com os três lados conhecidos e um ângulo que queremos saber (Note que os ângulos da base são iguais pois eles estão para lados de mesma medida).
Desta forma podemos usar a lei dos cossenos que usa exatamente estes dados
(Lei dos cossenos: a² = b² + c² – 2∙b∙c∙cosθ, sendo θ o ângulo oposto ao lado a):

y² = x² + y² – 2xycosA (poderíamos usar aqui o ângulo B, pois eles são iguais)

(2√5)² = (2√5)² + (2√2)² – 2(2√5)(2√2)cosA

20 = 20 + 8 -2(4√10)cosA

-8 = -8√10cosA

cosA = 8/(8√10)

cosA = 1/√10

Sabemos também das relações fundamentais de trigonometria que sen² + cos² = 1

Assim,  sen²A + cos²A = 1

sen²A +(1/√10)² = 1

sen²A = 1 – 1/10

sen²A = (10 -1)/10

senA = √ (9/10)

senA = 3/√10

A resposta correta da questão é a letra E.

OBS: Esta questão também poderia ser resolvida usando a lei dos senos (num triângulo qualquer os lados são proporcionais aos seus ângulos opostos), apenas precisaríamos achar a altura do triângulo HAF usando Pitágoras)