Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 2

O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano cartesiano Oxy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem O e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo OCP, em radianos, é denotada por θ. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo PQ que tangencia o disco no ponto P.

a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo ao eixo y.

                Inicialmente, o fio está esticado junto ao eixo x e tem comprimento 3 já que uma das extremidades está na origem O e a oura está em (0,3).

                Para o segmento PQ estar paralelo a y, ele deve estar tangenciando a circunferência quando 

θ  = 90° = π/2 e quando isto ocorre o fio percorreu 1/4 do comprimento da circunferência.

                O comprimento da circunferência é dado por: C = 2πr = 2π1 = 2π

e, 1/4 de C = 1/4(2π)

                O comprimento de PQ = 3 – π/2.

                Assim, se PQ é paralelo a y e tangencia a circunferência de raio 1 em P(1,1), a abcissa do ponto Q é 1 e a ordenada é (3-2π) + 1 = 4 - π/2, então Q(1, 4-π/2).

b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento PQ for paralelo à reta de equação y = x.

                Se PQ é paralela a y=x , então θ =45°= π/4 e o comprimento do arco é 1/8 do comprimento da circunferência, assim OP = 1/8(2 π) = 1/4(π).

               Podemos descobrir a coordenada de P usando a lei dos senos, pois, traçando uma paralela a x por P e cortando y em um ponto A, teremos um triangulo retângulo APC, onde 

1/sen90° = AP/sen45° = AC/sen45°, então AP = AC = √2/2 e AO = 1-√2/2. Logo, a coordenada de P é (√2/2, 1-√2/2).

                PQ neste caso será 3-1/4(π)

             Prolongando a reta paralela a x passando por P traçando outra reta por Q paralelo a y formando um ângulo reto em B, podemos tanto usar a lei dos senos novamente quanto usar as relações trigonométricas para o triângulo retângulo para achar as coordenadas de Q:

                (3-1/4(π)) / sen90° = PB/sen45° = QB/sen45°, PB = QB = √2/2[(12-π)/4]

                Somando os comprimentos a coordenada de P, achamos a coordenada de Q:

                x_q= x_p+ PB = √2/2 + √2/2[(12-π)/4] = √2/2[(16-π)/4]

                y_q= y_p+ BQ = (1-√2/2) +  √2/2[(12-π)/4] = 1+√2/2(-1 + 3 - π/4) = 1 + √2(1 - π/8)

                Assim, a coordenada de Q é (√2/2[(4- π/4] , 1 + √2(1 - π/8))

               

c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de θ, para θ no intervalo [0, π/2].

                Das coordenadas de P que sempre pertencem a circunferência, em função de θ teremos que x_p: senθ e y_p: 1-cosθ, pois o centro da circunferência está deslocado em 1 unidade no eixo y.

                O comprimento do fio é 3 e a distância PQ depende do arco θ, portanto 3 = arco θ + PQ

                PQ = 3 - θ.

                As coordenadas do ponto Q(x_q, y_q) podem ser deduzidas pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo onde:

senθ=cateto oposto(BQ) / hipotenusa(PQ) → cateto oposto(BQ)  = senθ∙PQ

cosθ =cateto ajacente(PB) / hipotenusa(PQ) → cateto adjacente(PB) = cosθ∙PQ

                Pela semelhança de triângulos (triângulo PCA: triângulo retângulo; triângulo BPQ: triângulo retângulo, ambos com base no mesmo segmento AB) , notamos que o ângulo θ dado na circunferência corresponde ao ângulo APQ, assim podemos escrever a coordenada (x_q, y_q) como:

                x_q = x_p + cosθ∙PQ  → x_q = senθ + cosθ∙(3- θ)

                y_q = y_p + senθ∙PQ  → y_q = (1-cosθ) + senθ∙(3- θ)