Resolução Comentada Fase2 Fuvest 2017

Questão 3

3) Um quadriculado é formado por n × n quadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 3. Cada um desses quadrados será pintado de azul ou de branco. Dizemos que dois quadrados Q₁ e Q₂ do quadriculado estão conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possível, por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair de Q₁ e chegar a Q₂ passando apenas por quadrados pintados de azul.

a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

                Como para Q₁ e Q₂ serem conectados eles devem estar pintados de azul e passar por um quadriculado pintado de azul até chegar ao outro, então deve haver pelo menos um quadriculado pintado de azul. Assim, temos essas possibilidades:

  - Os dois quadriculados pintados de azul;

  - O quadriculado do canto superior esquerdo pintado de azul e o do canto inferior direito pintado de branco;

  - O quadriculado do canto superior esquerdo pintado de branco e o do canto inferior direito pintado de azul.

São 3 maneira de pintar o quadriculado e manter  Q₁ e Q₂ conectados

b) Suponha que n = 3 e que o quadrado central esteja pintado de branco. De quantas maneiras distintas será possível pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

                Se o quadriculado superior central (entre Q₁ e Q₂) estiver pintado de azul, os outros 5 quadriculados podem estar pintado de qualquer uma das duas cores, sendo assim teremos 2⁵ possibilidade = 32;

                Caso contrário, os outros 5 quadriculados só podem estar pintados todos de azul para que Q₁ e Q₂ estejam conectados.

                Desta forma, teremos 32 + 1 = 33 possibilidades de pintar os quadriculados sendo o do meio branco.

c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas será possível pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q₁ do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q₂ do canto superior direito?

              1)  Já vimos as formas caso o quadriculado central fosse branco (33 possibilidades)

              2)  Se o quadriculado central é azul e o superior a ele é branco, teremos estas possibilidades:

                - os laterais a ele devem ser pintados de azul e os outros 3 podem ser pintados de branco ou azul: 2³ = 8.

             3) Se o central for azul e o quadriculado superior a ele também for azul, então tanto faz a cor dos outros 5 quadriculado e também teremos 2⁵ possibilidades = 32;

Assim, teremos: 33 + 8 + 32 = 73 possibilidades de pintarmos os quadriculados mantendo Q₁ e Q₂ conectados.